Exercice 21, § 2

Algèbre commutative, I

Soient S un anneau commutatif, R une S-algèbre commutative, B une S-algèbre (commutative ou non), B_{(R)} la R-algèbre obtenue à partir de B par extension des scalaires. On suppose que R est un S-module plat et que B est un S-module de type fini. Si Z est le centre de B, montrer que l’homomorphisme canonique de Z_{(R)} = Z ⊗_S R dans B_{(R)} est un isomorphisme de Z_{(R)} sur le centre de B_{(R)}. (Utiliser la suite exacte

0 \to Z \to B \xrightarrow{\theta} \operatorname{Hom}_S(B, B)

où $\theta(x)(y) = xy - yx$ , et la prop. 11 du n° 10.)

Solution

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