Exercice 23, § 2

a) Soit $0 \to R \to L \to E \to 0$ une suite exacte de A-modules à gauche, où L est un A-module libre ; soit $(e_\alpha)$ une base de L. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) E est plat. β) Pour tout $x \in R$, si $\alpha_x$ est l’idéal à droite engendré par les composantes de $x$ sur la base $(e_\alpha)$, on a $x \in R \alpha_x$. γ) Pour tout $x \in R$, il existe un homomorphisme $u_x : L \to R$ tel que $u_x(x) = x$. δ) Pour toute suite finie $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ d’éléments de R, il existe un homomorphisme $u : L \to R$ tel que $u(x_i) = x_i$ pour $1 \leq i \leq n$. (Utiliser le cor. de la prop. 7 du no 6).

b) Soit $a$ un idéal à gauche de $A$ tel que $A/a$ soit un $A$-module plat. Montrer que pour tout idéal à gauche de type fini $b \subset a$, il existe $x \in A$ tel que $b \subset Ax \subset a$ (utiliser le critère $\delta$ de $a$).

c) Déduire de a) une nouvelle démonstration du résultat de l’exerc. 15.

d) Soit $r$ le radical de $A$, et soit $0 \to R \to L \to E \to 0$ une suite exacte de $A$-modules à gauche, telle que $L$ soit libre. On suppose que $E$ est plat et que $R$ est contenu dans $rL$. Montrer que l’on a alors $R = 0$ (avec les notations de $a$), observer que $a_x$ est un idéal de type fini et que l’on a $a_x = a_{xr}$.

e) Soit $E$ un $A$-module plat de type fini ; supposons qu’il existe un idéal bilatère $b$ de $A$ contenu dans le radical de $A$, tel que $E/bE$ soit un $(A/b)$-module libre. Montrer que $E$ est alors un $A$-module libre (observer qu’il existe un $A$-module libre de type fini $L$ tel que $L/bL$ soit isomorphe à $E/bE$ et utiliser Alg., chap. VIII, § 6, no 3, cor. 4 de la prop. 6 ; puis appliquer d)).