Bài tập 23, § 2

(a) Cho $0 \to R \to L \to E \to 0$ là một dãy khớp của các A-môđun trái, trong đó L là một A-môđun tự do; cho $(e_i)$ là một cơ sở của L. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(a) E là phẳng.

(b) Với mọi $x \in R$, nếu a là iđêan phải sinh bởi các thành phần của x đối với cơ sở $(e_\alpha)$, thì $x \in Ra$.

(y) Với mọi $x \in R$, tồn tại một đồng cấu $u_x : L \to R$ sao cho $u_x(x) = x$.

(8) Với mọi dãy hữu hạn $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ các phần tử của R, tồn tại một đồng cấu $u : L \to R$ sao cho $u(x_i) = x_i$ với $1 \leq i \leq n$. (Dùng Hệ quả của Mệnh đề 7 của no. 6.)

(b) Cho a là một iđêan trái của A sao cho $A/a$ là một A-môđun phẳng. Chứng minh rằng, với mọi iđêan trái sinh hữu hạn $b \subset a$, tồn tại $x \in A$ sao cho

(dùng điều kiện (8) của (a)).

(c) Suy ra từ (a) một chứng minh mới của kết quả của Bài tập 15.

(d) Cho $r$ là căn Jacobson của $A$ và $0 \to R \to L \to E \to 0$ là một dãy khớp của các A-môđun trái sao cho L là tự do. Giả sử rằng E là phẳng và R được chứa trong $rL$. Chứng minh rằng $R = 0$ (trong ký hiệu của (a), nhận xét rằng $a_r$ là một iđêan sinh hữu hạn và rằng $a_r = a_{x,r}$).

(e) Cho $E$ là một A-môđun phẳng sinh hữu hạn; giả sử rằng tồn tại một iđêan hai phía b của A được chứa trong căn Jacobson của A sao cho $E/bE$ là một $(A/b)$-môđun tự do. Chứng minh rằng khi đó E là một A-môđun tự do (nhận xét rằng tồn tại một A-môđun tự do sinh hữu hạn L sao cho $L/bL$ đẳng cấu với $E/bE$ và dùng Đại số, Chương VIII, § 6, no. 3, Hệ quả 4 đối với Mệnh đề 6; sau đó áp dụng (d)).