Exercice 24, § 2

On dit qu’un sous-module $M'$ d’un $A$-module à droite $M$ est pur si, en désignant par $j : M' \to M$ l’injection canonique, l’homomorphisme $j \otimes 1_N : M' \otimes_A N \to M \otimes_A N$ est injectif pour tout $A$-module à gauche $N$. Il en est ainsi lorsque $M'$ est facteur direct de $M$, ou lorsque $M/M'$ est plat, mais ces deux conditions ne sont pas nécessaires (exerc. 4).

a) Montrer que, pour que $M'$ soit un sous-module pur de $M$, il faut et il suffit que, si $(m'_i)_{i \in I}$ est une famille finie d’éléments de $M'$, $(x_j)_{j \in J}$ une famille d’éléments de $M$ tels que $m'_i = \sum_{j \in J} x_j a_{ji}$ pour tout $i \in I$ et pour une famille $(a_{ji})$ d’éléments de $A$, alors il existe une famille $(x'_j)_{j \in J}$ d’éléments de $M'$ tels que $m'_i = \sum_{j \in J} x'_j a_{ji}$ pour tout $i \in I$. (Pour voir que la condition est suffisante, utiliser le lemme 10 du no 11 pour montrer que $M' \otimes_A N \to M \otimes_A N$ est injectif pour tout $A$-module à gauche $N$ de type fini ; pour voir que la condition est nécessaire, considérer un $A$-module à gauche de type fini $N = L/R$, où $L$ est un $A$-module libre de type fini et $R$ un sous-module de type fini de $L$.) Déduire de ce critère que, lorsque $A$ est un anneau commutatif principal, la notion de sous-module pur d’un $A$-module coïncide avec celle d’Alg., chap. VII, § 2, exerc. 7.

b) Soient $M$ un $A$-module à droite, $M'$ un sous-module de $M$, $M''$ un sous-module de $M'$. Montrer que, si $M'$ est un sous-module pur de $M$ et $M''$ un sous-module pur de $M'$, alors $M''$ est un sous-module pur de $M$, et $M'/M''$ est un sous-module pur de $M/M''$. Si $M''$ est un sous-module pur de $M$, $M''$ est sous-module pur de $M'$.

c) Montrer que, si $N$ et $P$ sont deux sous-modules de $M$ tels que $N \cap P$ et $N + P$ soient purs dans $M$, alors $N$ et $P$ sont des sous-modules purs de $M$. Donner un exemple de deux sous-modules $N, P$ de $\mathbf{Z}^2$ qui sont purs dans $\mathbf{Z}^2$ mais tels que $N + P$ ne soit pas un sous-module pur de $\mathbf{Z}^2$.

d) Soient $C$ un anneau commutatif, $E, F$ deux $C$-modules ; montrer que, si $E'$ (resp. $F'$) est un sous-module pur de $E$ (resp. $F$), l’application canonique $E' \otimes_c F' \to E \otimes_c F$ est injective, et identifie $E' \otimes_0 F'$ à un sous-module pur de $E \otimes_c F$.

e) Soient $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux, $M$ un $A$-module à droite, $M'$ un sous-module pur de $M$. Montrer que $M'_{(u)} = M' \otimes_A B$ s’identifie canoniquement à un sous-module pur de $M_{(u)} = M \otimes_A B$.