Bài tập 24, § 2

Một môđun con $M'$ của một $A$-môđun phải $M$ được gọi là thuần nếu, ký hiệu $j : M' \to M$ là đơn ánh chính tắc, đồng cấu

là đơn ánh với mọi $A$-môđun trái $N$. Điều này xảy ra nếu $M'$ là một nhân tử trực tiếp của $M$ hoặc nếu $M/M'$ là phẳng, nhưng hai điều kiện này không cần thiết (Bài tập 4).

(a) Chứng minh rằng, để $M'$ là một môđun con thuần của $M$, điều kiện cần và đủ là, nếu $(m'_i)_{i \in I}$ là một họ hữu hạn các phần tử của $M'$, $(x_j)_{j \in J}$ là một họ các phần tử của $M$ sao cho $m'_i = \sum_{j \in J} x_j a_{ji}$ với mọi $i \in I$ và một họ $(a_{ji})$ các phần tử của $A$, thì tồn tại một họ $(x'_j)_{j \in J}$ các phần tử của $M'$ sao cho $m'_i = \sum_{j \in J} x'_j a_{ji}$ với mọi $i \in I$. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, dùng Bổ đề 10 của no. 11 để chứng minh rằng $M' \otimes_A N \to M \otimes_A N$ là đơn ánh đối với mọi $A$-môđun trái sinh hữu hạn $N$; để thấy rằng điều kiện là cần thiết, xét một $A$-môđun trái sinh hữu hạn $N = L/R$, trong đó $L$ là một $A$-môđun tự do sinh hữu hạn và $R$ là một môđun con sinh hữu hạn của $L$.) Suy ra từ tiêu chuẩn này rằng, nếu $A$ là một miền iđêan chính, khái niệm môđun con thuần của một $A$-môđun trùng với khái niệm của Đại số, Chương VII, § 2, Bài tập 7.

(b) Cho $M$ là một $A$-môđun phải, $M'$ là một môđun con của $M$ và $M''$ là một môđun con của $M'$. Chứng minh rằng, nếu $M'$ là một môđun con thuần của $M$ và $M''$ là một môđun con thuần của $M$, thì $M''$ là một môđun con thuần của $M$ và $M'/M''$ là một môđun con thuần của $M/M''$. Nếu $M''$ là một môđun con thuần của $M$, thì $M''$ là một môđun con thuần của $M'$.

(c) Chứng minh rằng, nếu $N$ và $P$ là hai môđun con của $M$ sao cho $N \cap P$ và $N + P$ là thuần trong $M$, thì $N$ và $P$ là các môđun con thuần của $M$. Cho một ví dụ về hai môđun con $N, P$ của $\mathbf{Z}^2$ thuần trong $\mathbf{Z}^2$ nhưng $N + P$ không phải là một môđun con thuần của $\mathbf{Z}^2$.

(d) Cho $C$ là một vành giao hoán và $E, F$ là hai $C$-môđun; chứng minh rằng, nếu $E'$ (tương ứng $F'$) là một môđun con thuần của $E$ (tương ứng $F$), thì ánh xạ chính tắc $E' \otimes_C F' \to E \otimes_C F$ là đơn ánh và đồng nhất $E' \otimes_C F'$ với một môđun con thuần của $E \otimes_C F$.

(e) Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành, $M$ là một $A$-môđun phải và $M'$ là một môđun con thuần của $M$. Chứng minh rằng $M'_{(B)} = M' \otimes_A B$ được đồng nhất một cách chính tắc với một môđun con thuần của $M_{(B)} = M \otimes_A B$.