Exercice 17, § 3

a) Soient K un corps commutatif, $A = K[[X_1, ..., X_n]]$ l’anneau des séries formelles à $n$ indéterminées, à coefficients dans K, V un espace vectoriel sur K. Avec les notations du § 2, no 6, Exemple 1, on désigne par $V[[X_1, ..., X_n]]$ l’espace vectoriel $V^{N^n}$ muni de la structure de A-module définie par $(\sum c_\alpha X^\alpha)(v_\alpha) = (w_\alpha)$, où $w_\alpha = \sum_{\beta+\gamma=\alpha} c_\beta v_\gamma$. Montrer que si V admet une base dont I est l’ensemble d’indices, le A-module $V[[X_1, ..., X_n]]$ est isomorphe à $A^I$ si I est fini, au A-module $A_I$ défini dans l’exerc. 16 si I est infini. En déduire que $V[[X_1, ..., X_n]]$ est un A-module plat, et est fidèlement plat si V n’est pas réduit à 0.

b) Soit L une extension du corps K. Déduire de a) que l’anneau de séries formelles $L[[X_1, ..., X_n]]$ est un module fidèlement plat sur l’anneau $K[[X_1, ..., X_n]]$. Si L et de rang fini sur K, $L[[X_1, ..., X_n]]$ est isomorphe à $L \otimes_K K[[X_1, ..., X_n]]$.

c) Si L est une extension algébrique de K, montrer que l’anneau $L[[X_1, ..., X_n]]$ est un module fidèlement plat sur l’anneau

(considérer L comme limite inductive de ses sous-extensions de rang fini sur K, et utiliser le chap. I, § 2, no 7, prop. 9). En déduire que l’anneau $B = L \otimes_K K[[X_1, ..., X_n]]$ est un anneau local noethérien, dont le complété s’identifie à $L[[X_1, ..., X_n]]$. Pour que $\hat{B} = B$, il faut et il suffit que l’on ait $n = 0$ ou $[L : K] < +\infty$.