Bài tập 17, § 3

(a) Cho $K$ là một trường giao hoán, $A = K[[X_1, \ldots, X_n]]$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo $n$ phần tử bất định với các hệ số trong $K$ và $V$ là một không gian vectơ trên $K$. Với ký hiệu của § 2, no. 6, Ví dụ 1, ký hiệu $V[[X_1, \ldots, X_n]]$ là không gian vectơ $V^{n^n}$ với cấu trúc $A$-môđun được xác định bởi

trong đó $w_\alpha = \sum_{\beta + \gamma = \alpha} c_\beta v_\gamma$. Chứng minh rằng, nếu $V$ thừa nhận một cơ sở với $I$ là tập chỉ số, thì $A$-môđun $V[[X_1, \ldots, X_n]]$ đẳng cấu với $A'$ nếu $I$ hữu hạn và với $A$-môđun $A$, được xác định trong Bài tập 16 nếu $I$ vô hạn. Suy ra rằng $V[[X_1, \ldots, X_n]]$ là một $A$-môđun phẳng và là phẳng trung thành nếu $V$ không thu gọn về 0.

(b) Cho $L$ là một mở rộng của trường $K$. Suy ra từ (a) rằng vành các chuỗi lũy thừa hình thức $L[[X_1, \ldots, X_n]]$ là một môđun phẳng trung thành trên vành $K[[X_1, \ldots, X_n]]$. Nếu $L$ có hạng hữu hạn trên $K$, thì $L[[X_1, \ldots, X_n]]$ đẳng cấu với $L \otimes_K K[[X_1, \ldots, X_n]]$.

(c) Nếu $L$ là một mở rộng đại số của $K$, chứng minh rằng vành $L[[X_1, \ldots, X_n]]$ là một môđun phẳng trung thành trên vành

(xem $L$ như giới hạn trực tiếp của các mở rộng con của nó có hạng hữu hạn trên $K$ và sử dụng Chương I, § 2, no. 7, Mệnh đề 9). Suy ra rằng vành

là một vành địa phương Noether mà phép hoàn thiện của nó được đồng nhất với $L[[X_1, \ldots, X_n]]$. Để $\hat{B} = B$, điều kiện cần và đủ là $n = 0$ hoặc $[L : K] < +\infty$.