Exercice 6, § 2

Soient A un anneau, M un A-module à gauche. On appelle présentation de longueur n ou n-présentation de M une suite exacte

où $L_i$ est un A-module à gauche libre ($0 \leq i \leq n$). On dit que la présentation est finie si tous les $L_i$ sont des modules libres de type fini.

Si M est un A-module à gauche de type fini, on désigne par $\lambda(M)$ la borne supérieure (finie ou égale à $+\infty$) des entiers $n \geq 0$ tels que M possède une n-présentation finie. Si M n'est pas de type fini, on pose $\lambda(M) = -1$.

a) Soit $0 \to P \to N \to M \to 0$ une suite exacte de A-modules à gauche. On a alors $\lambda(N) \geq \inf (\lambda(P), \lambda(M))$. (A partir de deux n-présentations de P et M respectivement, en déduire une de N en utilisant l'exerc. 5 du § 1).

EXERCICES

b) Soit $M_n \xrightarrow{u_n} M_{n-1} \to \cdots \to M_0 \xrightarrow{u_0} M \to 0$ une $n$-présentation finie de $M$; montrer que, si $\lambda(M) > n$, $\mathrm{Ker}\,(u_n)$ est un $A$-module de type fini. (Soit $L_{n+1} \xrightarrow{v_{n+1}} L_n \to \cdots \to L_2 \xrightarrow{v_2} L_1 \xrightarrow{v'_1} L_0 \xrightarrow{v_0} M \to 0$ une $(n+1)$-présentation finie de $M$, et soit $P = \mathrm{Ker}\,(v_0)$, de sorte que l’on a une $n$-présentation de $P$:

Appliquant la méthode de a) à la suite exacte $0 \to P \to L_0 \to M \to 0$ on obtient une suite exacte

et des suites exactes $0 \to \mathrm{Ker}\,(v_{i+1}) \to \mathrm{Ker}\,(w_i) \to \mathrm{Ker}\,(u_i) \to 0$ ($\S \ 1$, no 4, prop. 2). Observer enfin que $\mathrm{Ker}\,(w_i)$ est facteur direct de $M_i \oplus L_{i+1}$.

c) Montrer que, sous les hypothèses de a), on a

(Si $n \leqslant \inf (\lambda(N), \lambda(P) + 1)$, montrer par récurrence sur $n$ que $\lambda(M) \geqslant n$, en raisonnant comme dans a) et utilisant b)).

d) Montrer que, sous les hypothèses de a), on a

(Même méthode que dans c).) En déduire que, si $\lambda(N) = + \infty$, alors $\lambda(M) = \lambda(P) + 1$.

e) Déduire de a), c) et d) que, si $N = M \oplus P$, on a

En particulier, pour que $N$ admette une présentation finie il faut et il suffit qu’il en soit ainsi pour $M$ et $P$.

f) Soient $N_1, N_2$ deux sous-modules d’un $A$-module $M$. Supposons que $N_1$ et $N_2$ admettent une présentation finie. Pour que $N_1 + N_2$ admette une présentation finie, il faut et il suffit que $N_1 \cap N_2$ soit de type fini.