Bài tập 6, § 2

Cho A là một vành và M là một A-môđun trái. Một dãy khớp

trong đó $L_i$ là một A-môđun trái tự do $(0 \leq i \leq n)$, được gọi là một trình bày của M có độ dài n hoặc một n-trình bày của M. Trình bày được gọi là hữu hạn nếu mọi $L_i$ đều là các môđun tự do sinh hữu hạn.

Nếu M là một A-môđun trái sinh hữu hạn, ta ký hiệu bởi $\lambda(M)$ cận trên (hữu hạn hoặc $+\infty$) nhỏ nhất của các số nguyên $n \geq 0$ sao cho M có một n-trình bày hữu hạn. Nếu M không sinh hữu hạn, ta đặt $\lambda(M) = -1$.

(a) Cho $0 \to P \to N \to M \to 0$ là một dãy khớp các A-môđun trái. Khi đó $\lambda(N) \geq \inf(\lambda(P), \lambda(M))$. (Bắt đầu với hai n-trình bày của P và M tương ứng, suy ra một trình bày của N sử dụng Bài tập 5 của § 1.)

(b) Cho $M, \xrightarrow{u_n} M_{n-1} \to \cdots \to M_0 \xrightarrow{u_0} M \to 0$ là một n-trình bày hữu hạn của M; chứng minh rằng, nếu $\lambda(M) > n$, $\operatorname{Ker}(u_n)$ là một A-môđun sinh hữu hạn. (Cho

là một $(n+1)$-trình bày hữu hạn của M và cho $P = \operatorname{Ker}(v_0)$ sao cho có một n-trình bày của P: Áp dụng phương pháp của (a) cho dãy khớp $0 \to P \to L_0 \to M \to 0$ ta thu được một dãy khớp và các dãy khớp $0 \to \operatorname{Ker}(v_{i+1}) \to \operatorname{Ker}(w_i) \to \operatorname{Ker}(u_i) \to 0$ ($§ 1$, no. 4, Mệnh đề 2). Cuối cùng nhận xét rằng $\operatorname{Ker}(w_i)$ là một nhân tử trực tiếp của $M_i \oplus L_{i+1}$.)

(c) Chứng minh rằng với các giả thiết của (a)

(Nếu $n \leq \inf(\lambda(N), \lambda(P) + 1)$, chứng minh bằng quy nạp theo n rằng $\lambda(M) \geq n$, lập luận như trong (a) và sử dụng (b).)

(d) Chứng minh rằng với các giả thiết của (a)

(Cùng phương pháp như trong (c).) Suy ra rằng, nếu $\lambda(N) = +\infty$, thì $\lambda(M) = \lambda(P) + 1$.

(e) Suy ra từ (a), (c) và (d) rằng, nếu $N = M \oplus P$, thì

Đặc biệt, để N có một trình bày hữu hạn thì điều kiện cần và đủ là M và P cũng có.

(f) Cho $N_1, N_2$ là hai môđun con của một A-môđun M. Giả sử rằng $N_1$ và $N_2$ có các trình bày hữu hạn. Để $N_1 + N_2$ có một trình bày hữu hạn thì điều kiện cần và đủ là $N_1 \cap N_2$ sinh hữu hạn.