Exercice 3, § 2

Soit A l'anneau K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées sur un corps K.

a) On considère dans A les idéaux principaux $b = (X), c = (Y)$, qui sont des A-modules libres et dont l'intersection $b \cap c = (XY)$ est aussi libre. Montrer que $a = b + c$ n'est pas un A-module plat, bien que $a$ soit sans torsion (cf. Alg., chap. III, § 2, exerc. 4).

b) Dans le A-module $A^2$, soit R le sous-module formé des éléments $(x, -x)$ où $x \in a$. Dans le A-module $A^2/R$, soient M, N les sous-modules images des sous-modules facteurs de $A^2$; montrer que M et N sont isomorphes à A, mais que $M \cap N$ n'est pas un A-module plat.