Bài tập 3, § 2

Cho A là vành $K[X, Y]$ các đa thức theo hai bất định trên một trường K. (a) Xét trong A các iđêan chính $b = (X)$, $c = (Y)$, là các A-môđun tự do và có giao $b \cap c = (XY)$ cũng là tự do. Chứng minh rằng $a = b + c$ không phải là một A-môđun phẳng, mặc dù a là không xoắn (xem Đại số, Chương III, § 2, Bài tập 4). (b) Trong A-môđun $A^2$, cho R là môđun con gồm các phần tử $(x, -x)$ trong đó $x \in a$. Trong A-môđun $A^2/R$, cho M, N là các môđun con là ảnh của các môđun con nhân tử của $A^2$; chứng minh rằng M và N đẳng cấu với A, nhưng $M \cap N$ không phải là một A-môđun phẳng.