Exercice 7, § 2

a) Avec les notations de l’exerc. 6, montrer que, si $M$ est un module projectif, on a $\lambda(M) = -1$ ou $\lambda(M) = +\infty$. Si $A$ est un anneau noethérien à gauche, alors, pour tout $A$-module $M$, on a $\lambda(M) = -1$ ou $\lambda(M) = +\infty$.

b) Si $a$ est un idéal à gauche d’un anneau $A$, qui n’est pas de type fini, $A_s/a$ est un $A$-module monogène qui n’admet pas de présentation finie, autrement dit $\lambda(A_s/a) = 0$ (no 8, lemme 9).

c) Donner un exemple d’un idéal à gauche monogène $a$ d’un anneau $A$ tel que $A_s/a$ (qui est de présentation finie) admette un dual qui ne soit pas un $A$-module à droite de type fini.

d) Soient $K$ un corps commutatif, $E$ l’espace vectoriel $K^{(\mathbf{N})}$, $(e_n)$ la base canonique de $E$, $T$ l’algèbre tensorielle de $E$, dont une base est donc formée des produits finis $e_{i_1}e_{i_2}\ldots e_{i_k}$ ($k \geqslant 0, i_j \in \mathbf{N}$ pour tout $j$). Pour un entier $n$ donné, soit $b$ l’idéal bilatère de $T$ engendré par les produits $e_1e_0,\ e_2e_1,\ldots,\ e_ne_{n-1}$ et $e_{n+k}e_n$ pour tout $k \geqslant 1$; soit $A$ l’anneau quotient

T/b, et pour tout entier m, soit $a_m$ l’image canonique de $e_m$ dans $A$. Montrer que, si $M = A_s / Aa_0$, on a $\lambda(M) = n$ (observer que, pour $m \leq n - 1$, l’annulateur à gauche de $a_m$ est $Aa_{m+1}$, et utiliser l’exerc. 6 b)).