Bài tập 7, § 2

(a) Với ký hiệu của Bài tập 6, chứng minh rằng, nếu M là một môđun xạ ảnh, thì $\lambda(M) = -1$ hoặc $\lambda(M) = +\infty$. Nếu A là một vành Noether trái, thì, với mọi A-môđun M, $\lambda(M) = -1$ hoặc $\lambda(M) = +\infty$.

(b) Nếu $a$ là một iđêan trái của một vành $A$, không sinh hữu hạn, thì $A_s/a$ là một A-môđun đơn sinh không thừa nhận một biểu diễn hữu hạn, nói cách khác $\lambda(A_s/a) = 0$ (no. 8, Bổ đề 9).

(c) Hãy cho một ví dụ về một iđêan trái đơn sinh $a$ của một vành $A$ sao cho $A_s/a$ (có một biểu diễn hữu hạn) thừa nhận một môđun đối ngẫu không phải là một A-môđun phải sinh hữu hạn.

(d) Cho $K$ là một trường giao hoán, $E$ là không gian vectơ $K^{(\mathbf{N})}$, $(e_n)$ là cơ sở chính tắc của $E$ và $T$ là đại số tenxơ của $E$, do đó có một cơ sở gồm các tích hữu hạn $e_{i_1}e_{i_2}\ldots e_{i_k}$ ($k \geqslant 0, i_j \in \mathbf{N}$ với mọi $j$). Với một số nguyên $n$ cho trước, cho $b$ là iđêan hai phía của $T$ sinh bởi các tích

và $e_{n+k}e_n$ với mọi $k \geqslant 1$; cho $A$ là vành thương $T/b$, và với mỗi số nguyên $m$, cho $a_m$ là ảnh chính tắc của $e_m$ trong $A$. Chứng minh rằng, nếu $M = A_s/Aa_0$, thì $\lambda(M) = n$ (nhận xét rằng, với $m \leqslant n - 1$, linh hóa tử trái của $a$, là $Aa_{m+}$, và sử dụng Bài tập 6(b)).