Exercice 13, § 4

Soient A un anneau, X = Spec (A) son spectre.

a) Si une partie F de X est fermée, elle possède les deux propriétés suivantes : α) pour tout p ∈ F, V(p) ⊂ F ; β) pour tout p ∉ F, il existe une partie fermée de V(p) qui contient F ∩ V(p) et ne contient pas p.

b) On suppose X noethérien. Montrer que toute partie F de X possédant les propriétés α) et β) de a) est fermée dans X (considérer les composantes irréductibles de F et utiliser l’exerc. 9 a)).

c) Avec les notations de l’exerc. 12, on prend pour Y l’intervalle (0, 1) de R. Montrer que Y n’est pas fermé dans X = Spec (A) (cf. § 2, exerc. 15), mais vérifie les conditions α) et β) de a).