Exercice 16, § 4

a) Soit $A$ un anneau (commutatif) absolument plat (chap. I, § 2, exerc. 17). Montrer que $X = \mathrm{Spec}(A)$ est un espace compact totalement discontinu, que tout idéal premier $p$ de $A$ est maximal et que $A_p$ est canoniquement isomorphe au corps $A/p$ (montrer d’abord que, pour tout $f \in A$, $V(f)$ est à la fois ouvert et fermé dans $X$; utiliser d’autre part le § 3, exerc. 9).

b) Montrer que l’application $a \to V(a)$ est une bijection de l’ensemble des idéaux de $A$ sur l’ensemble des parties fermées de $X$. En outre, les conditions suivantes sont équivalentes : $\alpha)$ $V(a)$ est ouvert ; $\beta)$ $a$ est de type fini ; $\gamma)$ $a$ est engendré par un idempotent ; $\delta)$ $A/a$ est un $A$-module projectif.

c) Soit $\tilde{A}$ le faisceau structural d’anneaux sur $X$. Montrer que tout $\tilde{A}$-Module $\mathscr{F}$ est de la forme $\tilde{E}$, où $E$ est un $A$-module défini à un isomorphisme unique près (prendre $E = \Gamma(X, \mathscr{F})$) et utiliser le fait que tout point de $X$ admet un système fondamental de voisinages ouverts et fermés). Pour tout idéal $a$ de $A$, montrer que $\mathrm{Hom}_A(a, E)$ s’identifie à $\Gamma(X - V(a), \tilde{E})$ (remarquer que $X - V(a)$ est réunion des $X_e$, où $e$ parcourt l’ensemble des idempotents $e \in a$). En déduire que, pour que $E$ soit un $A$-module injectif, il faut et il suffit que $\tilde{E}$ soit flasque.

d) Soient $A$ un anneau, $\mathfrak{N}$ son nilradical. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$\alpha)$ $A/\mathfrak{N}$ est absolument plat. $\beta)$ $X = \mathrm{Spec}(A)$ est séparé. $\gamma)$ Tout point de $X$ est fermé (autrement dit, tout idéal premier de $A$ est maximal). (Utiliser l’exerc. 9 du § 3).