Bài tập 16, § 4

(a) Cho $A$ là một vành phẳng tuyệt đối (giao hoán) (Chương I, § 2, Bài tập 17). Chứng minh rằng $X = \operatorname{Spec}(A)$ là một không gian compact hoàn toàn không liên thông, rằng mọi iđêan nguyên tố $q$ của $A$ là cực đại và rằng $A_q$ đẳng cấu chính tắc với trường $A/p$ (trước hết chứng minh rằng, với mọi $f \in A$, $V(f)$ vừa mở vừa đóng trong $X$; mặt khác sử dụng § 3, Bài tập 9).

(b) Chứng minh rằng ánh xạ $a \mapsto V(a)$ là một song ánh từ tập hợp các iđêan của $A$ lên tập hợp các tập con đóng của $X$. Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương: ($a$) $V(a)$ là mở; ($\beta$) $a$ là sinh hữu hạn; (y) $a$ được sinh bởi một phần tử lũy đẳng; ($\delta$) $A/a$ là một $A$-môđun xạ ảnh.

(c) Cho $\tilde{A}$ là bó cấu trúc của các vành trên $X$. Chứng minh rằng mọi $\tilde{A}$-Môđun $\mathscr{F}$ đều có dạng $\tilde{E}$, trong đó $E$ là một $A$-môđun được xác định sai khác bởi một đẳng cấu duy nhất (lấy $E = \Gamma(X, \mathscr{F})$) và sử dụng sự kiện rằng mọi điểm của $X$ thừa nhận một hệ cơ bản các lân cận vừa mở vừa đóng). Với mọi iđêan $a$ của $A$, chứng minh rằng $\operatorname{Hom}_A(a, E)$ được đồng nhất với $\Gamma(X - V(a), \tilde{E})$ (chú ý rằng $X - V(a)$ là hợp của các $X_e$, trong đó $e$ chạy qua tập hợp các phần tử lũy đẳng $e \in a$). Suy ra rằng, để $E$ là một $A$-môđun đơn ánh, điều kiện cần và đủ là $\tilde{E}$ mềm.

(d) Cho $A$ là một vành và $\mathfrak{N}$ là iđêan nil của nó. Các tính chất sau là tương đương:

(a) $A/\mathfrak{N}$ là phẳng tuyệt đối. ($\beta$) $X = \operatorname{Spec}(A)$ là Hausdorff. (y) Mọi điểm của $X$ đều đóng (nói cách khác, mọi iđêan nguyên tố của $A$ đều là cực đại). (Sử dụng các Bài tập 9 của §3.)