Exercice 17, § 4

a) Soient $X$ un espace compact totalement discontinu, $\mathscr{O}$ un faisceau d’anneaux sur $X$ tel que, pour tout $x \in X$, $\mathscr{O}_x$ soit un corps commutatif. Montrer que, si $A = \Gamma(X, \mathscr{O})$, l’anneau $A$ est absolument plat et que son spectre (muni du faisceau d’anneaux $\tilde{A}$) s’identifie canoniquement à $X$ (muni du faisceau $\mathscr{O}$). (Observer que pour tout $f \in A$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $f_x = 0$ est à la fois ouvert et fermé dans $X$ et en déduire l’existence de $g \in A$ tel que $f = gf^2$.)

b) Soient $X$ un espace compact totalement discontinu, $K$ un corps (commutatif), $A$ l’anneau des applications localement constantes de $X$ dans $K$. Montrer que $A$ est absolument plat (raisonner directement ou utiliser $a$).

c) Soit $A$ l’anneau des fonctions en escalier numériques définies dans $I = \{0, 1\}$, dont les points de discontinuité sont de la forme $k/2^n (n \in \mathbf{N}, 0 \leq k < 2^n)$, et qui sont continues à droite. Soit $\mathfrak{J}$ l’ensemble des réunions finies d’intervalles semi-ouverts $(x, y) \subset I$ dont les extrémités sont de la forme $k/2^n$. Pour tout $f \in A$, l’ensemble $Z(f) = \overline{f(0)}$ appartient à $\mathfrak{J}$. Si $a$ est un idéal de $A$, l’ensemble $\mathscr{B}$ des $Z(f)$, où $f$ parcourt $a$, est tel que : $1^\circ$ l’intersection de deux ensembles de $\mathscr{B}$ appartient à $\mathscr{B}$; $2^\circ$ tout ensemble de $\mathfrak{J}$ contenant un ensemble de $\mathscr{B}$ appartient à $\mathscr{B}$. Réciproque. Pour que $a$ soit premier, il faut et il suffit que $\mathscr{B}$ soit une base de filtre qui converge vers un point de $[0, 1]$. Montrer que $A$ est un anneau réduit absolument plat et que pour tout idéal maximal $m$ de $A$, $A_m$ est isomorphe au corps $\mathbf{R}$. Décrire l’espace $\mathrm{Spec}(A)$.