Bài tập 17, § 4

\* (a) Cho $X$ là một không gian compact hoàn toàn rời rạc và $\mathscr{O}$ là một bó các vành trên X sao cho, với mọi $x \in X, \mathscr{O}$, là một trường giao hoán. Chứng minh rằng, nếu $A = \Gamma(X, \mathscr{O})$, thì vành A là phẳng tuyệt đối và phổ của nó (với bó các vành $\tilde{A}$) được đồng nhất một cách chính tắc với X (với bó $\mathscr{O}$). (Nhận xét rằng với mọi $f \in A$ tập hợp các $x \in X$ sao cho $f_x = 0$ vừa mở vừa đóng trong X và suy ra sự tồn tại của $g \in A$ sao cho $f = gf^2$.) \*

(b) Cho X là một không gian compact hoàn toàn rời rạc, K là một trường (giao hoán) và A là vành các ánh xạ hằng địa phương từ X vào K. Chứng minh rằng A là phẳng tuyệt đối (lập luận trực tiếp hoặc sử dụng (a)).

(c) Cho A là vành các hàm bậc thang nhận giá trị thực được xác định trên $I = [0, 1[$, có các điểm gián đoạn có dạng $k/2^n$ ($n \in \mathbf{N},\ 0 \leq k < 2^n$) và liên tục phải. Cho $\mathfrak{g}$ là tập hợp các hợp hữu hạn của các khoảng nửa mở $[x, y[ \subset I$ mà các đầu mút có dạng $k/2^n$. Với mọi $f \in A$, tập hợp $Z(f) = \overline{f(0)}$ thuộc về $\mathbf{3}$. Nếu $a$ là một iđêan của A, tập hợp 23 gồm các $Z(f)$, trong đó f chạy qua a, có tính chất: (1) giao của hai tập hợp thuộc 23 thuộc về $\mathfrak{B}$; (2) mọi tập hợp của $\mathfrak{g}$ chứa một tập hợp thuộc 23 đều thuộc về $\mathfrak{B}$. Chứng minh mệnh đề đảo lại. Để a là nguyên tố, điều kiện cần và đủ là 23 là cơ sở của một lọc hội tụ đến một điểm của $[0, 1]$. Chứng minh rằng A là một vành phẳng tuyệt đối giảm và rằng, với mọi iđêan cực đại m của A, $A_m$ là đẳng cấu với trường $\mathbf{R}$. Mô tả không gian $\mathrm{Spec}(A)$. \*