Exercice 18, § 4

a) Soit $Y$ un espace complètement régulier. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : $\alpha$ Tout idéal premier de $C(Y ; \mathbf{R})$ est maximal. $\beta$ Toute intersection dénombrable de parties ouvertes de $Y$ est ouverte. $\gamma$ Toute fonction numérique continue dans $Y$ est localement constante. $\delta$ L’anneau $C(Y ; \mathbf{R})$ est absolument plat. (Utiliser l’exerc. 15 f) du § 2). Lorsqu’il en est ainsi, l’espace $X = \mathrm{Spec}\,(C(Y ; \mathbf{R}))$ s’identifie canoniquement au compactifié de Stone-Čech $\beta Y$ de $Y$. On dit qu’un tel espace $Y$ est plat. b) Tout sous-espace d’un espace plat est plat. Tout espace quotient complètement régulier d’un espace plat est plat. Tout produit fini d’espaces plats est plat. Toute somme d’espaces plats est un espace plat. c) Dans un espace plat, tout sous-espace dénombrable est fermé et discret. En particulier, tout espace plat dénombrable est discret. d) Tout espace complètement régulier weierstrassien (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 1, exerc. 22) (et a fortiori tout espace compact) qui est plat, est fini. e) L’espace associé à un ultrafiltre non trivial est extrêmement discontinu (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 11, exerc. 21) mais n’est pas plat. f) L’espace discret $\mathbf{N}$ est plat, mais son compactifié de Stone-Čech n’est pas plat, et les spectres des anneaux $C(\mathbf{N} ; \mathbf{R})$ et $C^\infty(\mathbf{N} ; \mathbf{R})$ ne sont donc pas isomorphes.