Bài tập 18, § 4

(a) Cho Y là một không gian chính quy hoàn toàn. Hãy chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(α) Mọi iđêan nguyên tố của $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ đều cực đại. (β) Mọi giao đếm được của các tập con mở của Y đều mở. (γ) Mọi hàm liên tục nhận giá trị thực trên Y đều hằng địa phương. (δ) Vành $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ là phẳng tuyệt đối. (Hãy sử dụng Bài tập 15 (f) của § 2.)

Nếu các điều kiện này thỏa mãn, không gian $X = \mathrm{Spec}(\mathscr{C}(Y; \mathbf{R}))$ được đồng nhất một cách chính tắc với compact hóa Stone-Čech $\beta Y$ của Y. Một không gian Y như vậy được gọi là phẳng.

(b) Mọi không gian con của một không gian phẳng đều phẳng. Mọi không gian thương chính quy hoàn toàn của một không gian phẳng đều phẳng. Mọi tích hữu hạn của các không gian phẳng đều phẳng. Mọi tổng của các không gian phẳng đều là một không gian phẳng.

(c) Trong một không gian phẳng, mọi không gian con đếm được đều đóng và rời rạc. Đặc biệt, mọi không gian phẳng đếm được đều rời rạc.

(d) Mọi không gian chính quy hoàn toàn Weierstrassian (General Topology, chương IX, § 1, Bài tập 22) (và a fortiori mọi không gian compact), nếu phẳng, thì đều hữu hạn.

(e) Không gian liên kết với một ultrafilter không tầm thường là hoàn toàn ngắt rời (General Topology, chương I, § 11, Bài tập 21) nhưng không phẳng.

(f) Không gian rời rạc $\mathbf{N}$ là phẳng nhưng compact hóa Stone-Čech của nó không phẳng và do đó các phổ của các vành $\mathscr{C}(\mathbf{N}; \mathbf{R})$ và $\mathscr{C}^\infty(\mathbf{N}; \mathbf{R})$ không đẳng cấu.