Exercice 21, § 4

Soit $(A_\alpha, \varphi_{\beta\alpha})$ un système inductif d’anneaux dont l’ensemble d’indices est filtrant, et soient $A = \lim \rightarrow A_\alpha$, $\varphi_\alpha : A_\alpha \to A$ l’homomorphisme canonique. Si on pose $X_\alpha = \mathrm{Spec}\,(A_\alpha)$, $(X_\alpha, ^a\varphi_{\beta\alpha})$ est un système projectif d’espaces topologiques, et si $X = \mathrm{Spec}\,(A)$, les $^a\varphi_\alpha : X \to X_\alpha$ forment un système projectif d’applications continues. Montrer que $u = \lim \leftarrow ^a\varphi_\alpha$ est un homéomorphisme de $X$ sur $\lim \leftarrow X_\alpha$. (Prouver d’abord que, si pour tout $\alpha$, $p_\alpha$ est un idéal premier de $A_\alpha$ tel que $p_\alpha = \overline{\varphi_{\beta\alpha}}(p_\beta)$ pour $\alpha \leq \beta$, la réunion $p$ des $\varphi_\alpha(p_\alpha)$ est un idéal premier de $A$; inversement, tout idéal

premier $p$ de $A$ est réunion des $\varphi_\alpha(p_\alpha)$, où $p_\alpha = \overline{\varphi}_\alpha(p)$. Enfin, si $f_\alpha \in A_\alpha$ et $f = \varphi_\alpha(f_\alpha)$, remarquer que la relation $p \in X_f$ est équivalente à