Bài tập 21, § 4

Cho $(A_\alpha, \phi_{\beta\alpha})$ là một hệ trực tiếp các vành có tập chỉ số là có hướng, $A = \varprojlim A_\alpha$, và $\phi_\alpha : A_\alpha \to A$ là đồng cấu chính tắc. Nếu ta viết $X_\alpha = \operatorname{Spec}(A_\alpha)$, $(X_\alpha, {}^a\phi_{\beta\alpha})$ là một hệ ngược các không gian tôpô và, nếu $X = \operatorname{Spec}(A)$, các ${}^a\phi_\alpha : X \to X_\alpha$, tạo thành một hệ ngược các ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng $u = \varprojlim {}^a\phi_\alpha$ là một đồng phôi của $X$ lên $\varprojlim X_\alpha$. (Trước hết hãy chứng minh rằng, nếu, với mọi $a$, $p_\alpha$ là một iđêan nguyên tố của $A_\alpha$, sao cho $p_\alpha = \phi_{\beta\alpha}^{-1}(p_\beta)$ với mọi $a \leq \beta$, hợp $p$ của các $\phi_\alpha(p_\alpha)$ là một iđêan nguyên tố của $A$; ngược lại, mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$ là hợp của các $\phi_\alpha(p_\alpha)$, trong đó $p_\alpha = \phi_\alpha(p)$. Cuối cùng, nếu $f_\alpha \in A_\alpha$ và $f = \phi_\alpha(f_\alpha)$, chú ý rằng quan hệ $p \in X$, tương đương với