Exercice 22, § 4

a) Soient $M$ un $A$-module, $(N_i)$ une famille finie de sous-modules de $M$. Montrer que l’on a $\operatorname{Supp}(M / \bigcap_i N_i) = \bigcup_i \operatorname{Supp}(M / N_i)$ (remarquer que $M / \bigcap_i N_i$ est isomorphe à un sous-module de la somme directe des $M / N_i$).

b) Soit $p$ un nombre premier ; le support du $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Z}$ est distinct de l’adhérence de la réunion des supports des $\mathbf{Z}$-modules $\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$ ($k \in \mathbf{N}$).

c) Soit $M$ la somme directe des $\mathbf{Z}$-modules $\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$ ($k \in \mathbf{N}$) ; montrer que $\operatorname{Supp}(M)$ est fermé mais distinct de $V(\alpha)$, où $\alpha$ est l’annulateur de $M$.

d) Soit $N$ la somme directe des $\mathbf{Z}$-modules $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ ($n \geq 1$) ; montrer que $\operatorname{Supp}(N)$ n’est pas fermé dans $\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})$.

e) Déduire de c) et d) un exemple de $A$-module $M$ tel que, si $\alpha$ est son annulateur, $\operatorname{Supp}(M)$ soit non fermé et ait une adhérence distincte de $V(\alpha)$.

f) Montrer que le support du $\mathbf{Z}$-module $\prod_{k=1}^\infty (\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z})$ est distinct de l’adhérence de la réunion des supports des modules facteurs $\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$.