Bài tập 22, § 4

(a) Cho $M$ là một $A$-môđun và $(N_i)$ là một họ hữu hạn các môđun con của $M$. Chứng minh rằng $\operatorname{Supp}\left(M / \bigcap_i N_i\right) = \bigcup_i \operatorname{Supp}(M/N_i)$ (chú ý rằng $M / \bigcap_i N_i$ đẳng cấu với một môđun con của tổng trực tiếp của các $M/N_i$).

(b) Cho $p$ là một số nguyên tố; giá của môđun $\mathbf{Z}$-môđun $Z$ phân biệt với bao đóng của hợp các giá của các $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$ ($k \in \mathbf{N}$).

(c) Cho $M$ là tổng trực tiếp của các $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$ ($k \in \mathbf{N}$); chứng minh rằng $\operatorname{Supp}(M)$ là đóng nhưng phân biệt với $V(a)$, trong đó $a$ là linh hóa tử của $M$.

(d) Cho $N$ là tổng trực tiếp của các $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ ($n \geq 1$); chứng minh rằng $\operatorname{Supp}(N)$ không đóng trong $\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})$.

(e) Suy ra từ (c) và (d) một ví dụ về một $A$-môđun $M$ sao cho, nếu $a$ là linh hóa tử của nó, $\operatorname{Supp}(M)$ không đóng và bao đóng của nó phân biệt với $V(a)$.

(f) Chứng minh rằng giá của $\mathbf{Z}$-môđun $\prod_{k=1}^m (\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z})$ phân biệt với bao đóng của hợp các giá của các môđun nhân tử $\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$.