Exercice 6, § 4

Soit $X$ un espace topologique.

a) Soient $x$ un point de $X$, $U$ un voisinage ouvert de $x$ n’ayant qu’un nombre fini de composantes irréductibles. Montrer qu’il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que tout voisinage ouvert de $x$ contenu dans $V$ soit connexe.

b) On suppose que tout point de $X$ possède un voisinage ouvert n’ayant qu’un nombre fini de composantes irréductibles. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

$\alpha)$ Les composantes irréductibles de $X$ sont ouvertes.

$\beta)$ Les composantes irréductibles de $X$ sont identiques à ses composantes connexes.

$\gamma)$ Les composantes connexes de $X$ sont irréductibles.

$\delta)$ Deux composantes irréductibles distinctes de $X$ ne se rencontrent pas.