Bài tập 6, § 4

Cho X là một không gian tôpô.

(a) Cho x là một điểm của X và U là một lân cận mở của x chỉ có một số hữu hạn thành phần bất khả quy. Chứng minh rằng tồn tại một lân cận V của x sao cho mọi lân cận được chứa trong V đều liên thông.

(b) Giả sử rằng mọi điểm của X đều có một lân cận mở chỉ có một số hữu hạn thành phần bất khả quy. Chứng minh rằng các Tính chất sau là tương đương:

(α) Các thành phần bất khả quy của X là mở. (β) Các thành phần bất khả quy của X trùng với các thành phần liên thông của nó.

(γ) Các thành phần liên thông của X là bất khả quy. (δ) Hai thành phần bất khả quy phân biệt của X không giao nhau.