Exercice 13, § 5

Soient A un anneau (commutatif), B une A-algèbre (non nécessairement commutative). On suppose que le A-module B est fidèle et engendré par un nombre fini d’éléments $b_i (1 \leq i \leq n)$; on rappelle que $B^0$ désigne l’algèbre opposée de B, et qu’on définit un homomorphisme canonique de la A-algèbre $B \otimes_A B^0$ dans la A-algèbre $\mathrm{End}_A(B)$, en faisant correspondre à $b \otimes b'$ l’endomorphisme $z \to bz b'$.

a) Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes : α) Les $b_i$ forment une base du A-module B et l’homomorphisme canonique $B \otimes_A B^0 \to \mathrm{End}_A(B)$ est bijectif. β) La matrice $U = (u_{ij})$ telle que $u_{ij} = b_j b_i$ est inversible dans $\mathbf{M}_n(B)$. b) On suppose de plus que A est un anneau local, d’idéal maximal $\mathfrak{m}$; on désigne par $\beta_i$ l’image canonique de $b_i$ dans $B/\mathfrak{m}B$. Montrer que les conditions α) et β) sont alors équivalentes à chacune des conditions : γ) Les $\beta_i$ forment une base du $A/\mathfrak{m}$-module $B/\mathfrak{m}B$, et $B/\mathfrak{m}B$ est une $A/\mathfrak{m}$-algèbre centrale simple (Alg., chap. VIII, § 5, no 4). δ) La matrice $(\beta_j \beta_i)$ est inversible dans $\mathbf{M}_n(B/\mathfrak{m}B)$. (Pour prouver que δ) entraîne β), utiliser le fait que $\mathfrak{m}B$ est contenu dans le radical de B, et l’exerc. 5 d’Alg., chap. VIII, § 6).