Bài tập 13, § 5

Cho A là một vành (giao hoán), B là một đại số trên A (không nhất thiết giao hoán). Giả sử rằng A-môđun B là trung thành và được sinh bởi một số hữu hạn phần tử $b_i (1 \leq i \leq n)$; nhắc lại rằng $B^0$ kí hiệu đại số đối của B, và rằng ta xác định một đồng cấu chính tắc của đại số trên A $B \otimes_A B^0$ vào đại số trên A $\mathrm{End}_A(B)$, bằng cách cho tương ứng với $b \otimes b'$ tự đồng cấu $z \to bz b'$.

a) Chứng minh rằng hai điều kiện sau là tương đương : α) Các $b_i$ tạo thành một cơ sở của A-môđun B và đồng cấu chính tắc $B \otimes_A B^0 \to \mathrm{End}_A(B)$ là song ánh. β) Ma trận $U = (u_{ij})$ sao cho $u_{ij} = b_j b_i$ là khả nghịch trong $\mathbf{M}_n(B)$. b) Giả sử thêm rằng A là một vành địa phương, với iđêan cực đại $\mathfrak{m}$; kí hiệu bởi $\beta_i$ ảnh chính tắc của $b_i$ trong $B/\mathfrak{m}B$. Chứng minh rằng các điều kiện α) và β) khi đó tương đương với mỗi điều kiện sau : γ) Các $\beta_i$ tạo thành một cơ sở của $A/\mathfrak{m}$-môđun $B/\mathfrak{m}B$, và $B/\mathfrak{m}B$ là một đại số đơn tâm trên $A/\mathfrak{m}$ (Alg., chap. VIII, § 5, no 4). δ) Ma trận $(\beta_j \beta_i)$ là khả nghịch trong $\mathbf{M}_n(B/\mathfrak{m}B)$. (Để chứng minh rằng δ) kéo theo β), sử dụng sự kiện rằng $\mathfrak{m}B$ được chứa trong căn của B, và bài tập 5 của Alg., chap. VIII, § 6).