Exercice 14, § 5

Soient A un anneau (commutatif), B une A-algèbre telle que le A-module B soit fidèle et de présentation finie. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) Pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de A, la $A/\mathfrak{m}$-algèbre $B/\mathfrak{m}B$ est centrale simple. β) B est un A-module projectif, et si $B^0$ désigne l’algèbre opposée à B, l’homomorphisme canonique $B \otimes_A B^0 \to \mathrm{End}_A(B)$ est bijectif. (Se ramener au cas où A est un anneau local, et appliquer l’exerc. 13.) On dit alors que B est une algèbre d’Azumaya sur A.