Bài tập 14, § 5

Cho A là một vành (giao hoán), B là một đại số trên A sao cho A-môđun B là trung thành và có biểu diễn hữu hạn. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của A, đại số trên $A/\mathfrak{m}$ $B/\mathfrak{m}B$ là đơn tâm. β) B là một A-môđun xạ ảnh, và nếu $B^0$ biểu thị đại số đối của B, thì đồng cấu chính tắc $B \otimes_A B^0 \to \mathrm{End}_A(B)$ là song ánh. (Rút gọn về trường hợp A là một vành địa phương, và áp dụng Bài tập 13.) Khi đó người ta nói rằng B là một đại số Azumaya trên A.