Exercice 15, § 5

Soit B une A-algèbre d’Azumaya (exerc. 14). a) Montrer que le centre de B est identique au sous-anneau A de B et est facteur direct du A-module B (cf. chap. I, § 2, exerc. 21, et chap. II, § 5, exerc. 4). b) Montrer que, pour tout idéal bilatère $b$ de B, on a $b = (b \cap A)B$. (Noter d’abord que $b$ est stable par tout endomorphisme du A-module B, et utiliser l’existence d’un projecteur de B sur A.)