Exercice 18, § 5

Soient A un anneau, P un A-module projectif de type fini et fidèle, B la A-algèbre $\mathrm{End}_A(P)$, E un B-module à gauche, F le A-module $\mathrm{Hom}_B(P, E)$. Montrer que l’homomorphisme canonique

défini dans Alg., chap. VIII, § 1, no 4, est bijectif. (Se ramener au cas où A est un anneau local comme dans l’exerc. 17 c) ; appliquer dans ce cas l’exerc. 9 d’Alg., chap. VIII, § 1, en observant que $F^n$ et $\mathrm{Hom}_B(P, E^n)$ sont des A-modules canoniquement isomorphes.)

Montrer qu’il existe une application bijective strictement croissante de l’ensemble des sous-A-modules de F sur l’ensemble des sous-B-modules de E (même méthode).