Bài tập 18, § 5

Cho $A$ là một vành, $P$ là một A-môđun trung thành xạ ảnh sinh hữu hạn, $B$ là đại số trên A $\mathrm{End}_A(P)$, $E$ là một B-môđun trái, $F$ là A-môđun $\mathrm{Hom}_B(P, E)$. Bây giờ chứng minh rằng đồng cấu chính tắc

β:P⊗ A F→E

được định nghĩa trong Alg., Chap. VIII, § 1, No. 4, là song ánh. (Rút gọn về trường hợp $A$ là một vành địa phương như trong Bài tập 17 c); áp dụng trong trường hợp này Bài tập 9 d) của Alg., Chap. VIII, § 1, nhận thấy rằng $F^n$ và $\mathrm{Hom}_B(P, E^n)$ là các A-môđun đẳng cấu chính tắc.)

Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ song ánh tăng ngặt từ tập hợp các A-môđun con của F lên tập hợp các B-môđun con của E (cùng phương pháp).