Exercice 19, § 5

Soient A un anneau, B et C deux A-algèbres, $\varphi : B \to C$ un homomorphisme de A-algèbres. On suppose que B est une algèbre d’Azumaya (exerc. 14). Soit C’ la sous-A-algèbre de C formée des éléments qui commutent aux éléments de $\varphi(B)$. Montrer que C est isomorphe à l’algèbre $B \otimes_A C'$. (Considérer C comme un $B \otimes_A B^0$-module et appliquer l’exerc. 18 en tenant compte de ce que $B \otimes_A B^0$ est isomorphe à $\mathrm{End}_A(B)$.)