Exercice 9, § 5

a) Soient A un anneau, $(f_i)_{i \in I}$ une famille finie d’éléments de A engendrant l’idéal A, M un A-module. On suppose donné dans chacun des $A_{f_i}$-modules $M_{f_i}$ un élément $z_i$, de sorte que, pour $i \neq j$, les images canoniques de $z_i$ et de $z_j$ dans $M_{f_i f_j}$ soient égales. Montrer qu’il existe un $z \in M$ et un seul tel que, pour tout $i$, l’image canonique de z dans $M_{f_i}$ soit égale à $z_i$. (Remarquer que, pour tout entier $k > 0$, il existe une famille $(g_i)_{i \in I}$ d’éléments de A tels que $\sum_i g_i f_i^k = 1$).

b) Soient A un anneau, P un A-module projectif de rang 1. Montrer que l’anneau $\mathrm{End}_A(P)$ est canoniquement isomorphe à A (utiliser le th. 3).

c) Soient A un anneau, P un A-module projectif de rang n. Pour tout endomorphisme u de P, il correspond canoniquement à $\wedge^n u$, en vertu de b), un élément $\det(u) \in A$, appelé déterminant de u, tel que $\det(u \circ v) = (\det u)(\det v)$ pour deux endomorphismes u, v de A. On appelle polynôme caractéristique de u l’élément $\chi_u(T) = \det(T.1 - u)$ de $A[T]$ (cf. n° 3, prop. 4); montrer que $\chi_u$ est un polynôme unitaire de degré n et que l’on a $\chi_u(u) = 0$ (utiliser a), et le § 3, n° 3, th. 1). En déduire que, pour que u soit bijectif, il faut et il suffit que $\det(u)$ soit inversible dans A. Si A est un anneau intègre, $\chi_u(T) = \prod_{i=1}^n (T - \alpha_i)$ la décomposition en facteurs linéaires de $\chi_u$ dans une extension algébriquement close du corps des fractions de A, on a $\chi_{q(u)}(T) = \prod_{i=1}^n (T - q(\alpha_i))$ pour tout polynôme $q \in A[T]$. Généraliser de même la prop. 14 d’Alg., chap. VII, § 5, n° 6.