Bài tập 9, § 5

a) Cho A là một vành, $(f_i)_{i \in I}$ là một họ hữu hạn các phần tử của A sinh iđêan A, M là một A-môđun. Giả sử rằng trong mỗi A-môđun $A_{f_i}$-môđun $M_{f_i}$ một phần tử $z_i$ được cho, sao cho, với $i \neq j$, các ảnh chính tắc của $z_i$ và $z_j$ trong $M_{f_i f_j}$ bằng nhau. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một $z \in M$ sao cho, với mọi $i$, ảnh chính tắc của z trong $M_{f_i}$ bằng $z_i$. (Nhận xét rằng, với mọi số nguyên $k > 0$, tồn tại một họ $(g_i)_{i \in I}$ các phần tử của A sao cho $\sum_i g_i f_i^k = 1$).

b) Cho A là một vành, P là một A-môđun xạ ảnh hạng 1. Bây giờ chứng minh rằng vành $\mathrm{End}_A(P)$ đẳng cấu chính tắc với A (dùng định lý 3).

c) Cho A là một vành, P là một A-môđun xạ ảnh hạng n. Với mỗi tự đồng cấu u của P, tương ứng một cách chính tắc với $\wedge^n u$, nhờ b), một phần tử $\det(u) \in A$, gọi là định thức của u, sao cho $\det(u \circ v) = (\det u)(\det v)$ đối với hai tự đồng cấu u, v của A. Đa thức đặc trưng của u được gọi là phần tử $\chi_u(T) = \det(T.1 - u)$ của $A[T]$ (xem n° 3, Mệnh đề 4); bây giờ chứng minh rằng $\chi_u$ là một đa thức đơn khởi bậc n và rằng có $\chi_u(u) = 0$ (dùng a), và § 3, n° 3, định lý 1). Suy ra rằng, để u là song ánh, điều kiện cần và đủ là $\det(u)$ khả nghịch trong A. Nếu A là một vành nguyên, $\chi_u(T) = \prod_{i=1}^n (T - \alpha_i)$ là phân tích thành các nhân tử tuyến tính của $\chi_u$ trong một mở rộng đóng đại số của trường các phân thức của A, thì có $\chi_{q(u)}(T) = \prod_{i=1}^n (T - q(\alpha_i))$ với mọi đa thức $q \in A[T]$. Tổng quát hóa tương tự Mệnh đề 14 của Alg., chap. VII, § 5, n° 6.