Exercice 26, § 1

a) Soit $A$ un anneau intègre tel que pour tout $a \neq 0$ dans $A$, l’idéal $Aa$ soit intersection d’une famille $(q_i)$ de saturés de $Aa$ pour des idéaux premiers $p_i$ minimaux parmi ceux qui contiennent $a$, tels que les anneaux $A_{p_i}$ soient intégralement clos (resp. complètement intégralement clos). Montrer alors que $A$ est intégralement clos (resp. complètement intégralement clos).

b) Soient $A$ un anneau local fortement laskérien (chap. IV, § 2, exerc. 28), $m$ son idéal maximal. On suppose que pour un $a \in A$, $m$ soit un idéal premier immergé faiblement associé à $A/Aa$ (chap. IV, , exerc. 17). Montrer que $Aa : m$ est contenu dans tout idéal primaire pour tout idéal premier $p \neq m$ faiblement associé à $A/Aa$ (considérer le transporteur $q : m$ pour un tel idéal primaire $q$, cf. chap. IV, § 2, exerc. 30). Si de plus on suppose que $A$ est intègre, montrer que l’on ne peut avoir, pour un idéal premier $p$ minimal parmi ceux qui contiennent $Aa$, la relation $p.(Aa : m) = Aa$ (si $q$ est le saturé de $Aa$ pour $p$, remarquer que la relation précédente entraînerait $qA_p = qpA_p$ dans $A_p$, et conclure à l’aide de l’exerc. 29 d) du chap. IV, § 2)

c) Montrer que si $A$ est un anneau fortement laskérien intègre, et s’il existe un élément $a \neq 0$ de $A$ tel qu’il y ait des idéaux premiers faiblement associés à $A/Aa$ et immergés, $A$ n’est pas complètement intégralement clos. (Se ramener au cas considéré dans $b$); avec les notations de $b$), il existe alors $b \in Aa : m$ tel que $b \notin Aa$, et l’on a $bp \subset am$; en déduire par récurrence sur $n$ que l’on a $b^n p \subset a^n m$ pour tout $n$.

d) Déduire en particulier de a) et c) que, pour qu’un anneau noethérien intègre $A$ soit intégralement clos, il est nécessaire et suffisant que, pour tout $a \neq 0$ dans $A$, les idéaux premiers $p$ associés à $A/Aa$ soient non immergés et tels que $A_p$ soit intégralement clos (cf. chap. VII, § 1, no 4, prop. 8).