Exercice 22, § 2

Soient $A$ un anneau intègre noethérien, $K$ son corps des fractions, $A'$ un sous-anneau de $K$ contenant $A$. On suppose que $A$ est intégralement fermé dans $A'$ et que pour tout idéal premier $p$ de $A$, il existe un idéal premier $p'$ de $A'$ au-dessus de $A$. Alors on a $A' = A$. (Raisonner par l’absurde : soit $x \in A' \cap CA$, et soit $a = A \cap (x^{-1}A)$, qui est un idéal distinct de $A$. Soit $p$ un idéal premier associé à $A/a$; le transporteur $b = a : p$ est alors distinct de $a$ (chap. IV, § 1, no 4, prop. 9), et par suite il existe $y \in b$ tel que $xy \notin A$ et $xy p \subset pA' \cap A = p$; en déduire une contradiction.)