Exercice 11, § 4

Soit $K$ un corps muni d’une valuation $v$ de hauteur 1.

a) Soit $P(X) = a_0 X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$ un polynôme de $K[X]$ de degré $n > 1$ et tel que $a_n \neq 0$; montrer qu’il existe une suite strictement croissante $(i_k)_{0 \leq k \leq r}$ d’entiers de l’intervalle $[0, n]$ telle que : $1^\circ \ i_0 = 0,\ i_r = n;\ 2^\circ \ v(a_{i_k})$ est fini pour $0 \leq k \leq r;\ 3^\circ$ pour tout indice $j$ tel que $0 \leq j \leq n$, distinct des $i_k$, tel que $v(a_j)$ soit fini, le point

est au-dessus de la droite passant par les points $(i_k, v(a_{i_k}))$ et $(i_{k+1}, v(a_{i_{k+1}}))$ et strictement au-dessus de cette droite si $j < i_k$ ou si $j > i_{k+1}$. On dit que la réunion des segments joignant les points $(i_k, v(a_{i_k}))$ et $(i_{k+1}, v(a_{i_{k+1}}))$ est le polygone de Newton de $P$, les segments précédents en sont appelés les côtés et les points $(i_k, v(a_{i_k}))$ les sommets.

b) On suppose que tous les zéros de $P$ appartiennent à $K$. Montrer que pour que les valuations de tous les zéros de $P$ soient les mêmes, il faut et il suffit que $r = 1$ (autrement dit, que le polygone de Newton se réduise à un seul côté). (Pour montrer que la condition est suffisante, considérer le polygone de Newton d’un produit $P_1 P_2$ où tous les zéros de $P_1$ sont inversibles dans l’anneau de $v$, tandis que tous ceux de $P_2$ appartiennent à l’idéal de $v$).

c) On suppose que tous les zéros de $P$ appartiennent à $K$; on forme le polygone de Newton de $P$ et on pose

Montrer que, pour $0 \leq k \leq r-1$, $P$ admet exactement $\rho_k$ zéros (comptés avec leur ordre de multiplicité) dont les valuations sont toutes égales à $\sigma_k$ (utiliser b)), et raisonner par récurrence sur $r$.

d) Généraliser au cas d’une valuation quelconque $v$ (on plongera le groupe $\Gamma$ des ordres de $v$ dans le $\mathbf{Q}$-espace vectoriel $\Gamma_{(\mathbf{Q})}$, qui est muni naturellement d’une structure de groupe totalement ordonné).