Exercice 32, § 1

Soient $A$ un anneau intègre, $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie d’éléments de $A$, $a$ l’idéal $\sum_i A a_i$, $R$ le sous-module de $A^n$ engendré par l’élément $(a_1, \ldots, a_n)$. Montrer que, pour que le sous-module de torsion du

A-module $M = A^n / R$ soit facteur direct de $M$, il faut et il suffit que l’on ait $a(A : a) + (A : (A : a)) = A$.