Exercice 13, § 2

a) Dans un anneau prüférien $A$, soient $a, b$ deux idéaux de type fini; montrer que si $b \not\subset a$, il existe un idéal $c$ de type fini tel que $a \subset c$, $a \neq c$ et $bc \subset a$ (considérer l’idéal $a + b$).

b) Déduire de a) que si $a$ est un idéal de type fini dans un anneau prüférien $A$, alors, dans l’anneau $A/a$, tout élément non diviseur de zéro est inversible. En particulier, un idéal premier de $A$ ne peut être de type fini que s’il est maximal.

c) Montrer que dans un anneau prüférien $A$, deux idéaux premiers p, p' dont aucun n’est contenu dans l’autre sont étrangers (considérer, pour tout idéal maximal m de A, l’idéal pA_m + p'A_m).

d) Dans un anneau prüférien A, soit α un idéal de type fini. Pour que α soit primal (chap. IV, § 2, exerc. 33), il faut et il suffit que α ne soit contenu que dans un seul idéal maximal de A (utiliser b)); α est alors irréductible et quasi-premier (chap. IV, § 2, exerc. 34), si bien que, pour les idéaux de type fini, ces trois notions coïncident. Pour que α soit primaire, il faut et il suffit qu’il ne soit contenu que dans un seul idéal premier (nécessairement maximal) m; pour que α soit fortement primaire (chap. IV, § 2, exerc. 27), il faut et il suffit en outre que mA_m soit principal.