Exercice 21, § 2

a) Soient A un anneau intègre, f, g deux polynômes de A[X], h = fg. Désignons par a, b, c les idéaux de A engendrés respectivement par les coefficients de f, g, h. Montrer que si deg(g) = n, on a a^{n+1} b = a^n c. (Soit $f(X) = \sum_{i=1}^m a_i X^i,\ g(X) = \sum_{j=1}^n b_j X^j$; pour toute suite croissante $\sigma = (i_k)_{1 \leq k \leq n+1}$ d’entiers $\leq m$ et tout j, soit

on prend sur l’ensemble des $u_{\sigma,j}$ un ordre total tel que, pour $j < j'$, on ait $u_{\sigma,j} < u_{\tau,j'}$ quels que soient $\sigma, \tau$, et pour tout j, $u_{\sigma,j} \leq u_{\tau,j}$ si et seulement si $\sigma \leq \tau$ dans l’ordre lexicographique sur $[0,m]^{n+1}$. Raisonner alors par récurrence dans cet ensemble totalement ordonné).

b) Déduire de a) que si A est prüferien (exerc. 12), on a c = ab.

c) Prenant pour A l’anneau de polynômes $\mathbf{Z}[Y]$, donner un exemple de deux polynômes f, g du premier degré dans A[X] tels que c $\neq$ ab.