Exercice 32, § 5

Soient k un corps, K une extension de type fini de k, n un entier positif, A et B deux k-algèbres formellement lisses, de dimension n, telles que les extensions $\kappa_A$ et $\kappa_B$ de k soient isomorphes à K. On se propose de montrer que A et B sont des k-algèbres isomorphes. a) Se ramener au cas où K est une extension radicielle finie de k (exerc. 29, a)). b) Considérer l’algèbre complétée $C = A \otimes_k B$ de $A \otimes_k B$ par rapport à l’idéal

Montrer que C est une k-algèbre noethérienne, locale, complète et régulière. (Pour ce dernier point, on utilisera l’homomorphisme canonique $\rho$ de A dans C. On montrera qu’il fait de C un A-module plat et que $C \otimes_A \kappa_A$ est isomorphe à $\kappa_A \otimes_k B$. On utilisera alors l’exerc. 14, p. 96.) c) Montrer que $\rho$ induit un isomorphisme sur les corps résiduels et une injection de $m_A / m_A^2$ dans $m_C / m_C^2$. Construire alors une rétraction $\pi$ de $\rho$ qui est un homomorphisme de k-algèbres. Montrer que $\pi \circ \rho' : B \to A$ est un isomorphisme de k-algèbres. (On a noté $\rho'$ l’homomorphisme canonique de B dans C.)