La première assertion résulte du cor. 1 de la prop. 7 du § 3, no 4. Comme B est plat sur A, on peut identifier m_B^k = B.\rho(m_A^k) à B \otimes_A m_A^k pour tout entier k \geqslant 0, donc m_B/m_B^2 à B \otimes_A (m_A/m_A^2) ou encore à \kappa_B \otimes_{\kappa_A} (m_A/m_A^2). On a donc

(2)

En effet, $\hat{A}$ est plat sur A, et l’on a $m_{\hat{A}} = \hat{A}.m_A$ (III, § 3, no 4, th. 3 et § 2, no 12, cor. 2 à la prop. 16).

Si ces conditions sont remplies, tout système de coordonnées de A est une suite complètement sécante pour A.

(ii) \Rightarrow (i) : en effet, toute partie sécante a au plus $\dim(A)$ éléments (§ 3, no 2, th. 1). (iii) \Rightarrow (ii) : en effet, toute suite complètement sécante est sécante (§ 3, no 2, corollaire de la prop. 3). (iv) \Rightarrow (iii) : soit $(x_1, ..., x_r)$ une suite d’éléments de $m_A$ dont les classes modulo $m_A^2$ forment une base $(\xi_1, ..., \xi_r)$ de $m_A/m_A^2$ sur le corps $\kappa_A$. Si la propriété (iv) est satisfaite, gr(A) est l’algèbre de polynômes $\kappa_A[\xi_1, ..., \xi_r]$ et la suite $(x_1, ..., x_r)$ est complètement sécante (A, X, p. 160, th. 1). Ceci prouve aussi la dernière assertion du th. 1. (i) \Rightarrow (iv) : posons $r = [m_A/m_A^2 : \kappa_A]$. D’après la formule (6) du § 4, no 2, la série de Poincaré de l’espace vectoriel gradué S sur le corps $\kappa_A$ est égale à

Supposons que l’homomorphisme canonique $\gamma : S \to \mathrm{gr}(A)$ ne soit pas bijectif. Comme $\gamma$ est surjectif, il existe un élément homogène $u$ de $S$, de degré $d > 0$, annulé par $\gamma$. On a alors

D’après le th. 3 du § 4, n° 4 et le lemme 2 du § 4, n° 1, on a donc $\dim(A) < r$, et A n’est pas régulier.

Prouvons enfin l’équivalence des conditions (iv) à (vi). Or (iv) signifie que l’on a $H_{A,m_A} = (1 - T)^{-s}$ avec $s = [m_A/m_A^2 : \kappa_A]$. Donc les conditions (iv), (v), (vi) signifient que l’on a $H_{A,m_A} = (1 - T)^{-m}$, avec respectivement $m = [m_A/m_A^2 : \kappa_A]$, $m \geq 0$, $m = \dim(A)$. Mais, si l’on a $H_{A,m_A} = (1 - T)^{-m}$, on a $\dim(A) = m$ d’après § 4, n° 4, th. 3 et $[m_A/m_A^2 : \kappa_A] = m$ (puisque $(1 - T)^{-m} = 1 + mT + \cdots$). L’équivalence des conditions (iv) à (vi) en résulte aussitôt.

Supposons A régulier. Alors $\mathrm{gr}(A)$ est isomorphe à une algèbre de polynômes en un nombre fini d’indéterminées sur un corps (th. 1, (iv)). Par suite, $\mathrm{gr}(A)$ est un anneau noethérien intégralement clos (V, § 1, n° 3, cor. 3 de la prop. 13), et A est donc intégralement clos (V, § 1, n° 4, prop. 15).

Nous verrons dans un chapitre ultérieur que tout anneau local noethérien régulier est factoriel.

La condition énoncée est évidemment nécessaire.

Supposons inversement que $\sigma$ induise des isomorphismes de $\mathrm{gr}_0(B)$ sur $\mathrm{gr}_0(A)$ et de $\mathrm{gr}_1(B)$ sur $\mathrm{gr}_1(A)$. Comme l’anneau $\mathrm{gr}(B)$ est engendré par $\mathrm{gr}_0(B) \cup \mathrm{gr}_1(B)$ et que $\mathrm{gr}(A)$ est l’algèbre symétrique de l’espace vectoriel $\mathrm{gr}_1(A)$ sur le corps $\mathrm{gr}_0(A)$, l’homomorphisme $\mathrm{gr}(\sigma)$ est bijectif. Par suite, $\sigma$ est bijectif (III, § 2, n° 8, cor. 3 du th. 1).

Cela résulte de l’équivalence de (i) et (iv) dans le th. 1, et de la prop. 11 de III, § 2, n° 9.

(i) l’anneau $A$ est régulier, et $x$ fait partie d’un système de coordonnées de $A$; (ii) l’anneau $A/x$ est régulier et $x$ est une suite sécante pour $A$; (iii) l’anneau $A/x$ est régulier et $x$ est une suite complètement sécante pour $A$.

En outre, lorsque ces conditions sont satisfaites, $x$ est un idéal premier de $A$.

(iii) $\Rightarrow$ (ii) : cela résulte du corollaire de la prop. 3 du § 3, no 2.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : supposons que $x$ soit une suite sécante pour $A$ et que l’anneau local noethérien $A/x$ soit régulier. Soit $(x_{r+1}, ..., x_d)$ une suite d’éléments de $A$, dont les classes modulo $x$ forment un système de coordonnées de $A/x$. Alors la suite $(x_1, ..., x_d)$ engendre l’idéal $m_A$ de $A$, et l’on a

Par suite, $A$ est régulier et $(x_1, ..., x_d)$ est un système de coordonnées de $A$.

(i) $\Rightarrow$ (iii) : si la condition (i) est satisfaite, la suite $x$ est complètement sécante (no 2, th. 1), donc sécante d’après le corollaire de la prop. 3 du § 3, no 2. On a donc

(3)

de plus, les classes de $x_1, ..., x_r$ modulo $m_A^2$ sont linéairement indépendantes sur le corps $\kappa_A$, et l’on a donc

(4)

Les formules (3) et (4) montrent que $A/x$ est régulier.

Tout anneau local noethérien régulier est intègre d’après le cor. 1 du th. 1 du no 2. Par suite, $x$ est premier si $A/x$ est régulier.

(i) $A$ est régulier, et $t$ n’appartient pas à $m_A^2$; (ii) $A/tA$ est régulier et $\dim(A/tA) < \dim(A)$; (iii) $A/tA$ est régulier, et $t$ n’est pas diviseur de 0 dans $A$.

La condition est suffisante d’après la prop. 2.

Supposons $A/q$ régulier, et soit $x = (x_1, ..., x_r)$ une suite d’éléments de $q$ dont les classes modulo $m_A^2$ forment une base de $(q + m_A^2)/m_A^2$ sur le corps $\kappa_A$. Soit $x$ l’idéal de $A$ engendré par $x$. On a donc $x \subset q$ et $x$ fait partie d’un système de coordonnées de $A$, donc l’anneau local noethérien $A/x$ est régulier (prop. 2); de plus, les espaces vectoriels $m_A/(q + m_A^2)$ et $m_A/(x + m_A^2)$ ont même dimension sur $\kappa_A$. Par suite, les anneaux locaux noethériens réguliers $A/q$ et $A/x$ ont même dimension. Comme les idéaux $q$ et $x$ sont premiers et que l’on a $x \subset q$, on a finalement $q = x$.

Soit $\varphi$ l’homomorphisme canonique de $A$ dans le corps des fractions $k$ de $A/p$ et soit $\varphi': A[T] \to k[T]$ l’extension de $\varphi$ telle que $\varphi'(T) = T$. Supposons qu’on ait $P = P_1P_2$ où $P_1$ et $P_2$ sont deux polynômes unitaires de $A[T]$ distincts de 1. On a alors $T^d = \varphi'(P_1)\varphi'(P_2)$ dans $k[T]$, en notant $d$ le degré de $P$. Si $d_i$ est le degré de $P_i$, on a donc $\varphi'(P_i) = T^{d_i}$, c’est-à-dire $P_i(T) \equiv T^{d_i} \mod pA[T]$, et en particulier $P_i(0) \in p$. Mais alors $P(0) = P_1(0).P_2(0)$ appartient à $p^2$ contrairement aux hypothèses. Ceci prouve a).

L’assertion b) résulte de a) et de la prop. 11 de V, § 1, no 3.

Soient $A$ un anneau local noethérien et $P_1, ..., P_r$ des polynômes unitaires dans $A[T]$, de degré $\geq 2$. Soit $q$ l’idéal de $A[T_1, ..., T_r]$ engendré par $P_1(T_1), ..., P_r(T_r)$ et soit $B$ la $A$-algèbre quotient $A[T_1, ..., T_r]/q$. Pour $1 \leq i \leq r$, on note $d_i$ le degré de $P_i$, $t_i$ la classe de $T_i$ modulo $q$, et $\gamma_i$ la classe de $c_i = P_i(0)$ modulo $m_A^2$. On suppose que l’on a $P_i(T) \equiv T^{d_i} \mod m_A A[T]$ pour $1 \leq i \leq r$.

Proposition 4. — a) L’anneau $B$ est local et noethérien, d’idéal maximal

On a $\dim(A) = \dim(B)$ et $[\kappa_B : \kappa_A] = 1$. Les monômes $t_1^{\alpha(1)} ... t_r^{\alpha(r)}$, avec $0 \leq \alpha(i) < d_i$ pour $1 \leq i \leq r$, forment une base du $A$-module $B$.

b) Soit $\lambda$ l’homomorphisme canonique de $m_A/m_A^2$ dans $m_B/m_B^2$. Alors le noyau de $\lambda$ est le $\kappa_A$-espace vectoriel engendré par $\gamma_1, ..., \gamma_r$. Les classes des éléments $t_1, ..., t_r$ forment une base sur $\kappa_A$ du conoyau de $\lambda$.

c) Pour que $B$ soit régulier, il faut et il suffit que $A$ soit régulier et que $\gamma_1, ..., \gamma_r$ soient linéairement indépendants dans le $\kappa_A$-espace vectoriel $m_A/m_A^2$.

La $A$-algèbre $B$ est isomorphe au produit tensoriel $B_1 \otimes_A \cdots \otimes_A B_r$ avec $B_i = A[T]/(P_i)$ pour $1 \leq i \leq r$. Il en résulte que les monômes $t_1^{\alpha(1)} ... t_r^{\alpha(r)}$, avec $0 \leq \alpha(i) < d_i$ pour $1 \leq i \leq r$, forment une base du $A$-module $B$. En particulier, $B$ est entier sur $A$, donc $A$ et $B$ ont même dimension d’après le th. 1 du § 2, no 3.

D’après le cor. 3 de la prop. 9 de IV, § 2, no 5, l’anneau $B$ est noethérien, et tout idéal maximal de $B$ contient $B.m_A$. Par ailleurs, vu l’hypothèse faite sur $P_1, ..., P_r$ et la relation $P_i(t_i) = 0$, on a $t_i^{d_i} \in B.m_A$ pour $1 \leq i \leq r$. Donc tout idéal maximal de $B$ contient $t_1, ..., t_r$, donc aussi l’idéal $q' = B.m_A + Bt_1 + \cdots + Bt_r$. Or on a $m_A = A \cap q'$ et $B = A + q'$, donc $B/q'$ est isomorphe à $A/m_A$ et $q'$ est un idéal maximal de $B$; par suite, $B$ est local et l’on a $[\kappa_B : \kappa_A] = 1$. Ceci prouve a).

Posons $r = m_A^2 + \sum_{i=1}^r Ac_i$, et notons $\varphi$ l’homomorphisme canonique de $(A/m_A^2)[T_1, ..., T_r]$ sur $B/m_B^2$. Comme on a $m_B = B.m_A + \sum_{i=1}^r Bt_i$, le noyau $n$ de $\varphi$ est l’idéal engendré par les classes $\overline{P}_i(T_i)$ des polynômes $P_i(T_i)$ modulo $m_A^2.A[T_1, ..., T_r]$ et les monômes $T_iT_j$ et $xT_i$ pour $1 \leq i, j \leq r$ et $x$ dans $m_A/m_A^2$. D’après l’hypothèse faite sur $P_i$, à savoir $P_i(T) \equiv T^{d_i} \mod m_A.A[T]$, on peut remplacer $\overline{P}_i(T_i)$ par $\gamma_i$ dans cette description de $n$; par suite, l’anneau $B/m_B^2$ est isomorphe au quotient de $(A/r)[T_1, ..., T_r]$ par l’idéal gradué engendré par les monômes $T_i T_j$ et $x T_i$ pour $x$ dans $m_A / r$. Notons $\tau_i$ la classe de $t_i$ modulo $m_B^2$; on a donc

d’où

L’assertion b) résulte aussitôt de là.

D’après la formule (6) et la relation $[ \kappa_B : \kappa_A ] = 1$, on a

Or, le $\kappa_A$-espace vectoriel $r / m_A^2$ est engendré par $\gamma_1, ..., \gamma_r$ et l’on a

L’assertion c) résulte aussitôt des formules (7) et (8).

Le cas où P est de degré $\geq 2$ résulte de la prop. 4, où l’on fait $r = 1$; lorsque P est de degré 1, c’est-à-dire de la forme $T - c$ avec $c \in m_A$, le corollaire est immédiat.

Posons $C = A_p[t]$ et notons d le degré de P. D’après la prop. 3 appliquée à l’anneau $A_p$, le polynôme d’Eisenstein P est irréductible dans $K[T]$ et $(1, t, ..., t^{d-1})$ est une base de L sur K, donc de C sur $A_p$. Comme P est unitaire, le noyau de l’homomorphisme canonique de $A_p[T]$ sur C est égal à (P). D’après le corollaire de la prop. 4 ci-dessus, C est donc un anneau local noethérien régulier de même dimension que $A_p$, l’idéal maximal $m_C$ de C est engendré par $p \cup \{ t \}$ et le corps $\kappa_C$ est une extension triviale du corps des fractions de $A/p$. Pour prouver la prop. 5, il suffit donc de montrer qu’il existe un unique idéal premier q de B au-dessus de p, et qu’on a $C = B_q$.

Posons S = A − p. On sait (V, § 1, n° 5, prop. 16) que la fermeture intégrale de

A_p dans L est égale à S^{-1}B. Par ailleurs t est entier sur A_p, et l’anneau C = A_p[t] est local noethérien régulier, donc intégralement clos (n° 2, cor. 1 du th. 1). On a donc C = S^{-1}B. Par conséquent, l’anneau S^{-1}B est local et possède un unique idéal maximal. D’après V, , n° 1, prop. 1, il existe un unique idéal premier de S^{-1}B au-dessus de pA_p, donc B possède un unique idéal premier q au-dessus de p (loc. cit., lemme 1), et l’on a B_q = S^{-1}B = C

(VI, § 8, n° 1).

En effet, les anneaux de valuation discrète sont les anneaux locaux noethériens réguliers de dimension 1 ; posant d = [L : K], on a t^d \in m_A - m_A^2, d’où d = e(B_q/A_p). On a [\kappa_B : \kappa_A] = 1, d’où f(B_q/A_p) = 1.

B) $p \neq 0$. On appelle sous-anneau de Cohen de A tout sous-anneau V de A qui est un $p$-anneau tel que $A = m_A + V$ (IX, § 2, no 2, déf. 2). L’anneau V est local ; son idéal maximal $m_V$ est engendré par $p.1_V$; par suite on a $m_A \cap V = m_V$ et l’injection canonique de V dans A définit par passage au quotient un isomorphisme du corps $\kappa_V$ sur le corps $\kappa_A$. Si $p.1_A = 0$, V est un corps de caractéristique $p$. Sinon V est un anneau de valuation discrète dont le corps des fractions est de caractéristique zéro (IX, § 2, no 1, cor. 1 à la prop. 1). On démontre (IX, no 2, th. 1) que A possède des sous-anneaux de Cohen.

a) Supposons que $V$ soit un corps. Alors la $V$-algèbre $A$ est isomorphe à l’algèbre de séries formelles $V[[X_1, ..., X_n]]$.

b) Supposons que $V$ soit un anneau de valuation discrète complet et que l’on ait $m_V \not\subset m_A^2$. Alors, la $V$-algèbre $A$ est isomorphe à l’algèbre de séries formelles $V[[X_1, ..., X_{n-1}]]$.

c) Supposons que $V$ soit un anneau de valuation discrète complet et que l’on ait $m_V \subset m_A^2$. Il existe alors un polynôme spécial $P$ dans $V[[X_1, ..., X_{n-1}]] [T]$ et un $V$-isomorphisme de $A$ sur $V[[X_1, ..., X_{n-1}]] [T]/(P)$.

L’assertion a) résulte aussitôt du cor. 3 du th. 1 du no 2.

Prouvons b). Soit $(x_1, ..., x_m)$ une suite d’éléments de $m_A$, et soit $\varphi_0$ l’homomorphisme de $V[X_1, ..., X_m]$ dans $A$ qui coïncide avec l’identité sur $V$ et envoie $X_i$ sur $x_i$ pour $1 \leq i \leq m$. Si $a$ est l’idéal de $V[X_1, ..., X_m]$ engendré par $X_1, ..., X_m$, on a $\varphi_0(a) \subset m_A$, donc $\varphi_0$ se prolonge par continuité en un homomorphisme $\varphi$ de $V_m = V[[X_1, ..., X_m]]$ dans $A$. Soit $\pi$ une uniformisante de $V$. D’après le cor. 2 du th. 1 du no 2, $\varphi$ est un isomorphisme de $V_m$ sur $A$ si et seulement si $(\pi, x_1, ..., x_m)$ est un système de coordonnées de $A$. Mais l’application canonique de $m_V/m_V^2$ dans $m_A/m_A^2$ est injective, puisque l’on a $m_V \not\subset m_A^2$ et que $m_V/m_V^2$ est de rang 1 sur $\kappa_V$. Donc $m_A/(m_V + m_A^2)$ est de rang $n - 1$ et $(\pi, x_1, ..., x_m)$ est un système de coordonnées de $A$ si et seulement si les classes des $x_i$ forment une base de $m_A/(m_V + m_A^2)$ sur $\kappa_V$. D’où b).