Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Hệ quả 1 của Mệnh đề 7 ở § 3, No. 4. Vì B phẳng trên A, ta có thể đồng nhất m_B^k = B.\rho(m_A^k) với B \otimes_A m_A^k với mọi số nguyên k \geqslant 0, do đó đồng nhất m_B/m_B^2 với B \otimes_A (m_A/m_A^2), hay lại đồng nhất với \kappa_B \otimes_{\kappa_A} (m_A/m_A^2). Vậy ta có

(2)

Thật vậy, $\hat{A}$ phẳng trên A, và ta có $m_{\hat{A}} = \hat{A}.m_A$ (III, § 3, No. 4, Định lý 3 và § 2, No. 12, Hệ quả 2 của Mệnh đề 16).

Nếu các điều kiện ấy được thỏa mãn, mọi hệ tọa độ của A là một dãy hoàn toàn cát tuyến đối với A.

(ii) \Rightarrow (i): vì mọi tập con cát tuyến đều có nhiều nhất $\dim(A)$ phần tử (§ 3, No. 2, Định lý 1). (iii) \Rightarrow (ii): vì mọi dãy hoàn toàn cát tuyến đều là cát tuyến (§ 3, No. 2, hệ quả của Mệnh đề 3). (iv) \Rightarrow (iii): cho $(x_1, ..., x_r)$ là một dãy các phần tử của $m_A$ mà các lớp của chúng modulo $m_A^2$ tạo thành một cơ sở $(\xi_1, ..., \xi_r)$ của $m_A/m_A^2$ trên trường $\kappa_A$. Nếu tính chất (iv) được thỏa mãn, $\mathrm{gr}(A)$ là đại số đa thức $\kappa_A[\xi_1, ..., \xi_r]$ và dãy $(x_1, ..., x_r)$ là hoàn toàn cát tuyến (A, X, p. 160, Định lý 1). Điều này cũng chứng minh khẳng định cuối cùng của Định lý 1. (i) \Rightarrow (iv): đặt $r = [m_A/m_A^2 : \kappa_A]$. Theo công thức (6) của § 4, No. 2, chuỗi Poincaré của không gian vectơ phân bậc S trên trường $\kappa_A$ bằng

Giả sử rằng đồng cấu chính tắc $\gamma : S \to \mathrm{gr}(A)$ không song ánh. Vì $\gamma$ là toàn ánh, tồn tại một phần tử thuần nhất $u$ của $S$, bậc $d > 0$, bị triệt tiêu bởi $\gamma$. Khi đó ta có

Do đó, theo Định lý 3 của § 4, No. 4 và Bổ đề 2 của § 4, No. 1, $\dim(A) < r$, và A không chính quy.

Sau cùng, hãy chứng minh sự tương đương của các điều kiện từ (iv) đến (vi). Khi đó (iv) có nghĩa là ta có $H_{A,m_A} = (1 - T)^{-s}$ với $s = [m_A/m_A^2 : \kappa_A]$. Do đó các điều kiện (iv), (v), (vi) có nghĩa là ta có $H_{A,m_A} = (1 - T)^{-m}$, lần lượt với $m = [m_A/m_A^2 : \kappa_A]$, $m \geq 0$, $m = \dim(A)$. Nhưng nếu ta có $H_{A,m_A} = (1 - T)^{-m}$, thì $\dim(A) = m$ theo § 4, No. 4, Định lý 3 và $[m_A/m_A^2 : \kappa_A] = m$ (vì $(1 - T)^{-m} = 1 + mT + \cdots$). Sự tương đương của các điều kiện từ (iv) đến (vi) suy ra ngay lập tức từ điều này.

Giả sử rằng A là chính quy. Khi đó $\mathrm{gr}(A)$ đẳng cấu với một đại số đa thức theo một số hữu hạn ẩn trên một trường (Định lý 1, (iv)). Do đó $\mathrm{gr}(A)$ là một vành Noether nguyên đóng (V, § 1, No. 3, Hệ quả 3 của Mệnh đề 13), và vì thế A là nguyên đóng (V, § 1, No. 4, Mệnh đề 15).

Ta sẽ thấy trong một chương sau rằng mọi vành địa phương Noether chính quy đều là phân tích được duy nhất.

Điều kiện đã nêu hiển nhiên là cần.

Ngược lại, giả sử rằng $\sigma$ cảm sinh các đẳng cấu của $\mathrm{gr}_0(B)$ lên $\mathrm{gr}_0(A)$ và của $\mathrm{gr}_1(B)$ lên $\mathrm{gr}_1(A)$. Vì vành $\mathrm{gr}(B)$ được sinh bởi $\mathrm{gr}_0(B) \cup \mathrm{gr}_1(B)$ và $\mathrm{gr}(A)$ là đại số đối xứng của không gian vectơ $\mathrm{gr}_1(A)$ trên trường $\mathrm{gr}_0(A)$, nên đồng cấu $\mathrm{gr}(\sigma)$ là song ánh. Do đó $\sigma$ là song ánh (III, § 2, No. 8, Hệ quả 3 của Định lý 1).

Điều này suy ra từ sự tương đương của (i) và (iv) trong Định lý 1, và từ Mệnh đề 11 của III, § 2, No. 9.

(i) vành $A$ là chính quy, và $x$ tạo thành một phần của một hệ tọa độ của $A$; (ii) vành $A/x$ là chính quy và $x$ là một dãy cắt đối với $A$; (iii) vành $A/x$ là chính quy và $x$ là một dãy cắt hoàn toàn đối với $A$.

Hơn nữa, khi các điều kiện này được thỏa mãn, $x$ là một iđêan nguyên tố của $A$.

(iii) $\Rightarrow$ (ii): điều này suy ra từ hệ quả của Mệnh đề 3 của § 3, No. 2.

(ii) $\Rightarrow$ (i): giả sử rằng $x$ là một dãy cắt đối với $A$ và rằng vành địa phương Noether $A/x$ là chính quy. Gọi $(x_{r+1}, ..., x_d)$ là một dãy các phần tử của $A$ mà các lớp của chúng modulo $x$ tạo thành một hệ tọa độ của $A/x$. Khi đó dãy $(x_1, ..., x_d)$ sinh iđêan $m_A$ của $A$, và ta có

Suy ra $A$ là chính quy và $(x_1, ..., x_d)$ là một hệ tọa độ của $A$.

(i) $\Rightarrow$ (iii): nếu điều kiện (i) được thỏa mãn, dãy $x$ là cắt hoàn toàn (No. 2, Định lý 1), do đó là cắt theo hệ quả của Mệnh đề 3 của § 3, No. 2. Vậy ta có

(3)

hơn nữa, các lớp của $x_1, ..., x_r$ modulo $m_A^2$ là độc lập tuyến tính trên trường $\kappa_A$, và do đó ta có

(4)

Các công thức (3) và (4) cho thấy rằng $A/x$ là chính quy.

Mọi vành địa phương Noether chính quy đều là một miền nguyên theo Hệ quả 1 của Định lý 1 của No. 2. Suy ra $x$ là nguyên tố nếu $A/x$ là chính quy.

(i) $A$ là chính quy, và $t$ không thuộc $m_A^2$; (ii) $A/tA$ là chính quy và $\dim(A/tA) < \dim(A)$; (iii) $A/tA$ là chính quy, và $t$ không là một ước của 0 trong $A$.

Điều kiện là đủ theo Mệnh đề 2.

Giả sử $A/q$ chính quy, và cho $x = (x_1, ..., x_r)$ là một dãy các phần tử của $q$ mà các lớp modulo $m_A^2$ của chúng lập thành một cơ sở của $(q + m_A^2)/m_A^2$ trên trường $\kappa_A$. Gọi $x$ là iđêan của $A$ sinh bởi $x$. Khi đó $x \subset q$ và $x$ lập thành một phần của một hệ tọa độ của $A$, do đó vành địa phương Noether $A/x$ là chính quy (Mệnh đề 2); hơn nữa, các không gian vectơ $m_A/(q + m_A^2)$ và $m_A/(x + m_A^2)$ có cùng chiều trên $\kappa_A$. Suy ra các vành địa phương Noether chính quy $A/q$ và $A/x$ có cùng chiều. Vì các iđêan $q$ và $x$ là nguyên tố và ta có $x \subset q$, cuối cùng suy ra $q = x$.

Gọi $\varphi$ là đồng cấu chính tắc từ $A$ vào trường phân thức $k$ của $A/p$ và gọi $\varphi': A[T] \to k[T]$ là phép mở rộng của $\varphi$ sao cho $\varphi'(T) = T$. Giả sử rằng ta có $P = P_1P_2$ trong đó $P_1$ và $P_2$ là hai đa thức đơn nhất của $A[T]$ khác 1. Khi đó ta có $T^d = \varphi'(P_1)\varphi'(P_2)$ trong $k[T]$, ký hiệu $d$ là bậc của $P$. Nếu $d_i$ là bậc của $P_i$, do đó ta có $\varphi'(P_i) = T^{d_i}$, nghĩa là $P_i(T) \equiv T^{d_i} \mod pA[T]$, và đặc biệt $P_i(0) \in p$. Nhưng khi đó $P(0) = P_1(0).P_2(0)$ thuộc $p^2$, trái với các giả thiết. Điều này chứng minh a).

Mệnh đề b) suy ra từ a) và mệnh đề 11 của V, § 1, no 3.

Cho $A$ là một vành địa phương Noether và $P_1, ..., P_r$ là các đa thức đơn nhất trong $A[T]$, có bậc $\geq 2$. Gọi $q$ là iđêan của $A[T_1, ..., T_r]$ sinh bởi $P_1(T_1), ..., P_r(T_r)$ và gọi $B$ là $A$-đại số thương $A[T_1, ..., T_r]/q$. Với $1 \leq i \leq r$, gọi $d_i$ là bậc của $P_i$, $t_i$ là lớp của $T_i$ theo modulo $q$, và $\gamma_i$ là lớp của $c_i = P_i(0)$ theo modulo $m_A^2$. Giả sử rằng $P_i(T) \equiv T^{d_i} \mod m_A A[T]$ với $1 \leq i \leq r$.

Mệnh đề 4. — a) Vành $B$ là địa phương và Noether, với iđêan cực đại

Ta có $\dim(A) = \dim(B)$ và $[\kappa_B : \kappa_A] = 1$. Các đơn thức $t_1^{\alpha(1)} ... t_r^{\alpha(r)}$, với $0 \leq \alpha(i) < d_i$ cho $1 \leq i \leq r$, tạo thành một cơ sở của A-môđun $B$.

b) Gọi $\lambda$ là đồng cấu chính tắc từ $m_A/m_A^2$ vào $m_B/m_B^2$. Khi đó hạt nhân của $\lambda$ là không gian vectơ trên $\kappa_A$ sinh bởi $\gamma_1, ..., \gamma_r$. Các lớp của các phần tử $t_1, ..., t_r$ tạo thành một cơ sở trên $\kappa_A$ của đối hạt nhân của $\lambda$.

c) Để $B$ là chính quy, điều kiện cần và đủ là $A$ chính quy và $\gamma_1, ..., \gamma_r$ độc lập tuyến tính trong không gian vectơ trên $\kappa_A$ $m_A/m_A^2$.

A-đại số $B$ đẳng cấu với tích tenxơ $B_1 \otimes_A \cdots \otimes_A B_r$ với $B_i = A[T]/(P_i)$ cho $1 \leq i \leq r$. Suy ra rằng các đơn thức $t_1^{\alpha(1)} ... t_r^{\alpha(r)}$, với $0 \leq \alpha(i) < d_i$ cho $1 \leq i \leq r$, tạo thành một cơ sở của A-môđun $B$. Đặc biệt, $B$ là nguyên trên $A$, do đó $A$ và $B$ có cùng chiều theo Định lý 1 của § 2, No. 3.

Theo Hệ quả 3 của Mệnh đề 9 của IV, § 2, No. 5, vành $B$ là Noether, và mọi iđêan cực đại của $B$ đều chứa $B.m_A$. Hơn nữa, theo giả thiết đặt ra trên $P_1, ..., P_r$ và quan hệ $P_i(t_i) = 0$, ta có $t_i^{d_i} \in B.m_A$ với $1 \leq i \leq r$. Do đó mọi iđêan cực đại của $B$ đều chứa $t_1, ..., t_r$, và vì thế cũng chứa iđêan $q' = B.m_A + Bt_1 + \cdots + Bt_r$. Bây giờ ta có $m_A = A \cap q'$ và $B = A + q'$, nên $B/q'$ đẳng cấu với $A/m_A$ và $q'$ là một iđêan cực đại của $B$; do đó, $B$ là địa phương và ta có $[\kappa_B : \kappa_A] = 1$. Điều này chứng minh a).

Đặt $r = m_A^2 + \sum_{i=1}^r Ac_i$, và ký hiệu bởi $\varphi$ đồng cấu chính tắc từ $(A/m_A^2)[T_1, ..., T_r]$ lên $B/m_B^2$. Vì ta có $m_B = B.m_A + \sum_{i=1}^r Bt_i$, hạt nhân $n$ của $\varphi$ là iđêan sinh bởi các lớp $\overline{P}_i(T_i)$ của các đa thức $P_i(T_i)$ modulo $m_A^2.A[T_1, ..., T_r]$ và các đơn thức $T_iT_j$ và $xT_i$ với $1 \leq i, j \leq r$ và $x$ trong $m_A/m_A^2$. Theo giả thiết đặt ra trên $P_i$, tức là $P_i(T) \equiv T^{d_i} \mod m_A.A[T]$, có thể thay thế $\overline{P}_i(T_i)$ bởi $\gamma_i$ trong mô tả này của $n$; do đó, vành $B/m_B^2$ đẳng cấu với thương của $(A/r)[T_1, ..., T_r]$ bởi iđêan phân bậc sinh bởi các đơn thức $T_i T_j$ và $x T_i$ với $x$ trong $m_A / r$. Gọi $\tau_i$ là lớp của $t_i$ modulo $m_B^2$; vì thế ta có

do đó

Mệnh đề b) suy ra ngay từ điều này.

Theo công thức (6) và quan hệ $[ \kappa_B : \kappa_A ] = 1$, ta có

Bây giờ, không gian vectơ $\kappa_A$-vectơ $r / m_A^2$ được sinh bởi $\gamma_1, ..., \gamma_r$ và ta có

Mệnh đề c) suy ra ngay từ các công thức (7) và (8).

Trường hợp trong đó P có bậc $\geq 2$ suy ra từ mệnh đề 4, khi lấy $r = 1$; khi P có bậc 1, nghĩa là có dạng $T - c$ với $c \in m_A$, thì hệ quả là ngay lập tức.

Đặt $C = A_p[t]$ và ký hiệu bởi d bậc của P. Theo mệnh đề 3 áp dụng cho vành $A_p$, đa thức Eisenstein P là bất khả quy trong $K[T]$ và $(1, t, ..., t^{d-1})$ là một cơ sở của L trên K, do đó cũng là một cơ sở của C trên $A_p$. Vì P là đơn nhất, hạt nhân của đồng cấu chính tắc từ $A_p[T]$ lên C bằng (P). Bởi hệ quả của mệnh đề 4 ở trên, do đó C là một vành địa phương Noether chính quy có cùng chiều với $A_p$, iđêan cực đại $m_C$ của C được sinh bởi $p \cup \{ t \}$ và trường $\kappa_C$ là một mở rộng tầm thường của trường phân thức của $A/p$. Vì vậy, để chứng minh mệnh đề 5, chỉ còn đủ phải chỉ ra rằng tồn tại một iđêan nguyên tố q duy nhất của B nằm trên p, và rằng ta có $C = B_q$.

Đặt S = A − p. Ta biết (V, § 1, n° 5, mệnh đề 16) rằng bao đóng nguyên của

(VI, § 8, n° 1).

Thật vậy, các vành định giá rời rạc là các vành địa phương Noether chính quy có chiều 1; đặt d = [L : K], ta có t^d \in m_A - m_A^2, do đó d = e(B_q/A_p). Ta có [\kappa_B : \kappa_A] = 1, do đó f(B_q/A_p) = 1.

B) $p \neq 0$. Một vành con Cohen của A là bất kỳ vành con V nào của A là một $p$-vành sao cho $A = m_A + V$ (IX, § 2, no 2, định nghĩa 2). Vành V là địa phương; iđêan cực đại $m_V$ của nó được sinh bởi $p.1_V$; do đó ta có $m_A \cap V = m_V$ và đơn ánh chính tắc từ V vào A xác định, khi chuyển sang thương, một đẳng cấu của trường $\kappa_V$ lên trường $\kappa_A$. Nếu $p.1_A = 0$, V là một trường có đặc số $p$. Nếu không thì V là một vành định giá rời rạc mà trường phân thức có đặc số không (IX, § 2, no 1, hệ quả 1 của mệnh đề 1). Người ta chứng minh được (IX, no 2, đl. 1) rằng A có các vành con Cohen.

a) Giả sử rằng $V$ là một trường. Khi đó $V$-đại số $A$ đẳng cấu với đại số chuỗi hình thức $V[[X_1, ..., X_n]]$.

b) Giả sử rằng $V$ là một vành định giá rời rạc đầy đủ và ta có $m_V \not\subset m_A^2$. Khi đó $V$-đại số $A$ đẳng cấu với đại số chuỗi hình thức $V[[X_1, ..., X_{n-1}]]$.

c) Giả sử rằng $V$ là một vành định giá rời rạc đầy đủ và ta có $m_V \subset m_A^2$. Khi đó tồn tại một đa thức đặc biệt $P$ trong $V[[X_1, ..., X_{n-1}]] [T]$ và một V-đẳng cấu của $A$ lên $V[[X_1, ..., X_{n-1}]] [T]/(P)$.

Mệnh đề a) suy ra ngay từ Hệ quả 3 của Định lý 1 của No. 2.

Hãy chứng minh b). Cho $(x_1, ..., x_m)$ là một dãy các phần tử của $m_A$, và gọi $\varphi_0$ là đồng cấu từ $V[X_1, ..., X_m]$ vào $A$ trùng với đồng nhất trên $V$ và gửi $X_i$ tới $x_i$ với $1 \leq i \leq m$. Nếu $a$ là iđêan của $V[X_1, ..., X_m]$ sinh bởi $X_1, ..., X_m$, ta có $\varphi_0(a) \subset m_A$, do đó $\varphi_0$ mở rộng được bởi tính liên tục thành một đồng cấu $\varphi$ từ $V_m = V[[X_1, ..., X_m]]$ vào $A$. Gọi $\pi$ là một phần tử chuẩn hoá của $V$. Theo Hệ quả 2 của Định lý 1 ở No. 2, $\varphi$ là một đẳng cấu từ $V_m$ lên $A$ khi và chỉ khi $(\pi, x_1, ..., x_m)$ là một hệ tọa độ của $A$. Nhưng ánh xạ chính tắc từ $m_V/m_V^2$ vào $m_A/m_A^2$ là đơn ánh, vì ta có $m_V \not\subset m_A^2$ và $m_V/m_V^2$ có hạng 1 trên $\kappa_V$. Do đó $m_A/(m_V + m_A^2)$ có hạng $n - 1$ và $(\pi, x_1, ..., x_m)$ là một hệ tọa độ của $A$ khi và chỉ khi các lớp của $x_i$ lập thành một cơ sở của $m_A/(m_V + m_A^2)$ trên $\kappa_V$. Vậy b).