Bourbaki

§ 4. Séries de hilbert-samuel

1. L’anneau Z((T))\mathbf{Z}((T))

Soit A un anneau. Munissons le A-module AZA^\mathbf{Z} de la topologie produit des topologies discrètes. Les éléments (an)∈AZ(a_n) \in A^\mathbf{Z} tels qu’il existe n0∈Zn_0 \in \mathbf{Z} avec an=0a_n = 0 pour n<n0n < n_0 forment un sous-module B de AZA^\mathbf{Z}. Si pour a=(an)∈B,b∈(bn)∈Ba = (a_n) \in B, b \in (b_n) \in B, on pose ab=cab = c, avec cn=∑i+j=naibjc_n = \sum_{i+j=n} a_i b_j, on définit sur B une structure de A-algèbre. Soit T l’élément (θn)(\theta_n) de B tel que θn=0\theta_n = 0 pour n≠1n \neq 1 et θ1=1\theta_1 = 1. Alors T est inversible dans B ; pour tout élément a=(an)a = (a_n) de B, la famille (anTn)n∈Z(a_n T^n)_{n \in \mathbf{Z}} est sommable dans AZA^\mathbf{Z} et l’on a

a=∑n∈ZanTn. a = \sum_{n \in \mathbf{Z}} a_n T^n .

Dans la suite de ce chapitre, on notera A((T))A((T)) la AA-algèbre BB; elle contient comme sous-algèbres l’algèbre A[[T]]A[[T]] des séries formelles et l’algèbre A[T,T−1]A[T, T^{-1}]; leur intersection est l’algèbre A[T]A[T] des polynômes.

Remarque

L’anneau A((T))A((T)) s’identifie naturellement à l’anneau de fractions A[[T]]TA[[T]]_T de l’anneau A[[T]]A[[T]] défini par la partie multiplicative formée des puissances de TT.

Pour n,pn, p dans Z\mathbf{Z}, on définit l’entier naturel [np]\left[ \begin{array}{c} n \\ p \end{array} \right] par

([np]=0si p<0 ou p>n,[np]=(np)=n(n−1)...(n−p+1)p!si 0≤p≤n. \left( \begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{c} n \\ p \end{array} \right] = 0 & \text{si } p < 0 \text{ ou } p > n, \\ \left[ \begin{array}{c} n \\ p \end{array} \right] = \binom{n}{p} = \frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!} & \text{si } 0 \leq p \leq n . \end{array} \right.

On a [np]=[nn−p]\left[ \begin{array}{c} n \\ p \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} n \\ n-p \end{array} \right] pour n,p∈Zn, p \in \mathbf{Z}.

Lemme 1

L’élément 1−T1 - T de Z((T))\mathbf{Z}((T)) est inversible. Pour tout entier r>0r > 0 on a

(1−T)−r=∑n∈Z[n+r−1r−1]Tn=∑n∈N(n+r−1r−1)Tn. (1 - T)^{-r} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \left[ \begin{array}{c} n + r - 1 \\ r - 1 \end{array} \right] T^n = \sum_{n \in \mathbf{N}} \binom{n + r - 1}{r - 1} T^n .

En effet, 1−T1 - T est inversible dans l’anneau Z[[T]]\mathbf{Z}[[T]], d’inverse ∑m≥0Tm\sum_{m \geq 0} T^m; on a donc

(1−T)−r=(∑m≥0Tm)r=∑m1,...,mr≥0Tm1+m2+...+mr, (1 - T)^{-r} = (\sum_{m \geq 0} T^m)^r = \sum_{m_1, ..., m_r \geq 0} T^{m_1 + m_2 + ... + m_r},

et la formule annoncée résulte de E, III, p. 44, prop. 15.

Soient Q(T)∈Z[T,T−1]Q(T) \in \mathbf{Z}[T, T^{-1}], rr un entier >0> 0, et F=(1−T)−rQ∈Z((T))F = (1 - T)^{-r} Q \in \mathbf{Z}((T)). Posons

Q(T)=∑i∈ZaiTi,F=∑n∈ZαnTn. Q(T) = \sum_{i \in \mathbf{Z}} a_i T^i , \quad F = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \alpha_n T^n .

Alors, d’après le lemme 1, on a

αn=∑i∈Zai[n−i+r−1r−1]=∑i≤nai(n−i+r−1r−1). \alpha_n = \sum_{i \in \mathbf{Z}} a_i \left[ \begin{array}{c} n - i + r - 1 \\ r - 1 \end{array} \right] = \sum_{i \leq n} a_i \binom{n - i + r - 1}{r - 1}.

Soit n1n_1 la borne supérieure dans R‾\overline{\mathbf{R}} de l’ensemble des entiers i∈Zi \in \mathbf{Z} tels que ai≠0a_i \neq 0. Pour tout entier n≥n1n \geq n_1, on a αn=α~(n)\alpha_n = \tilde{\alpha}(n), où α~\tilde{\alpha} est le polynôme de Q[X]\mathbf{Q}[X] défini par

α~(X)=1(r−1)!∑i∈Zai∏j=1r−1(X−i+j). \tilde{\alpha}(X) = \frac{1}{(r-1)!} \sum_{i \in \mathbf{Z}} a_i \prod_{j=1}^{r-1} (X - i + j) .

Si l’on pose c=Q(1)=∑i∈Zaic = Q(1) = \sum_{i \in \mathbf{Z}} a_i, on a α~(X)=cXr−1/(r−1)!+θ(X)\tilde{\alpha}(X) = c X^{r-1}/(r-1)! + \theta(X), où θ\theta est un polynôme de degré ≤r−2\leq r-2. Par conséquent, on a

αn=cnr−1(r−1)!+ρnnr−2, \alpha_n = c \frac{n^{r-1}}{(r-1)!} + \rho_n n^{r-2},

où le nombre rationnel ρn\rho_n tend vers une limite lorsque nn augmente indéfiniment. On en déduit la relation

Q(1)=(r−1)!lim⁡n→∞n1−rαn. Q(1) = (r-1)! \lim_{n \to \infty} n^{1-r} \alpha_n.

Si F=∑n∈ZanTnF = \sum_{n \in \mathbf{Z}} a_n T^n et G=∑n∈ZbnTnG = \sum_{n \in \mathbf{Z}} b_n T^n sont deux éléments de Z((T))\mathbf{Z}((T)), on note « F≤GF \leq G » la relation « an≤bna_n \leq b_n pour tout n∈Zn \in \mathbf{Z} ». C’est une relation d’ordre compatible avec la structure d’anneau de Z((T))\mathbf{Z}((T)) (A, VI, p. 18, déf. 1). On a (1−T)−1≥1(1-T)^{-1} \geq 1. Si Q∈Z[T,T−1]Q \in \mathbf{Z}[T, T^{-1}] est ≥0\geq 0, alors l’entier Q(1)Q(1) est positif.

Lemme 2. — a) Soit FF un élément non nul de Z((T))\mathbf{Z}((T)) tel qu’il existe r∈Zr \in \mathbf{Z}, avec (1−T)rF∈Z[T,T−1](1-T)^r F \in \mathbf{Z}[T, T^{-1}]; alors FF s’écrit de manière unique sous la forme F=(1−T)−d.QF = (1-T)^{-d}.Q, où Q∈Z[T,T−1]Q \in \mathbf{Z}[T, T^{-1}], Q(1)≠0Q(1) \neq 0 et d∈Zd \in \mathbf{Z}. Si F≥0F \geq 0, alors on a Q(1)>0Q(1) > 0 et d≥0d \geq 0.

b) Soient Q,RQ, R dans Z[T,T−1]\mathbf{Z}[T, T^{-1}], d,d′d, d' dans Z\mathbf{Z} avec Q(1)>0Q(1) > 0. Si

(1−T)−d.Q≤(1−T)−d′.R, (1-T)^{-d}.Q \leq (1-T)^{-d'}.R,

alors, ou bien d<d′d < d', ou bien d=d′d = d' et Q(1)≤R(1)Q(1) \leq R(1).

a) On peut écrire F=(1−T)−rTnP(T)F = (1-T)^{-r} T^n P(T) avec r,n∈Zr, n \in \mathbf{Z} et P(T)∈Z[T]P(T) \in \mathbf{Z}[T]. Par division euclidienne, on peut écrire P(T)=(1−T)pR(T)P(T) = (1-T)^p R(T) avec R(T)∈Z[T]R(T) \in \mathbf{Z}[T] et R(1)≠0R(1) \neq 0. Donc F=(1−T)−(r−p)Q(T)F = (1-T)^{-(r-p)} Q(T), où Q(T)=TnR(T)∈Z[T,T−1]Q(T) = T^n R(T) \in \mathbf{Z}[T, T^{-1}] et Q(1)≠0Q(1) \neq 0. Cela démontre l’existence de dd et QQ. Par ailleurs, si (1−T)rQ(T)=(1−T)sR(T)(1-T)^r Q(T) = (1-T)^s R(T) avec r>sr > s et Q,RQ, R dans Z[T,T−1]\mathbf{Z}[T, T^{-1}], on a R(T)=(1−T)r−sQ(T)R(T) = (1-T)^{r-s} Q(T), donc R(1)=0R(1) = 0; cela démontre l’unicité. Supposons que FF soit ≥0\geq 0; si on avait d<0d < 0, alors on aurait F(1)=0F(1) = 0, ce qui est impossible puisque FF est non nul et que tous ses coefficients sont positifs ; on a donc d≥0d \geq 0. Si d=0d = 0, alors Q=F≥0Q = F \geq 0, donc Q(1)Q(1) est positif. Si d≥1d \geq 1, alors Q(1)Q(1) est positif d’après la formule (3). Cela démontre a).

b) Supposons d≥d′d \geq d'. Alors (1−T)−d((1−T)d−d′R−Q)≥0(1-T)^{-d} ((1-T)^{d-d'} R - Q) \geq 0; comme S(T)=(1−T)d−d′R−QS(T) = (1-T)^{d-d'} R - Q appartient à Z[T,T−1]\mathbf{Z}[T, T^{-1}], cela implique S(1)≥0S(1) \geq 0 d’après ce qui précède. Si d>d′d > d', on a S(1)=−Q(1)<0S(1) = -Q(1) < 0, d’où une contradiction ; si d=d′d = d', on a S(1)=R(1)−Q(1)S(1) = R(1) - Q(1) d’où Q(1)≤R(1)Q(1) \leq R(1).

2. Série de Poincaré d’un module gradué sur un anneau de polynômes

Soient H0H_0 un anneau, II un ensemble fini et HH l’anneau de polynômes H0[(Xi)i∈I]H_0[(X_i)_{i \in I}]. Pour chaque i∈Ii \in I, soit did_i un entier >0> 0. Munissons HH de la structure d’anneau gradué de type Z\mathbf{Z} telle que les éléments de H0H_0 soient homogènes de degré 0 et chaque XiX_i homogène de degré did_i. Lorsque di=1d_i = 1 pour tout ii, on retrouve la graduation usuelle des anneaux de polynômes.

Soit MM un HH-module gradué de type fini dont tous les composants homogènes sont des H0H_0-modules de longueur finie ; on appelle série de Poincaré de MM l’élément PMP_M de Z((T))\mathbf{Z}((T)) tel que PM=∑n∈Zlong⁡H0(Mn)⋅TnP_M = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_{H_0}(M_n) \cdot T^n, et l’on pose QM=PM⋅∏i∈I(1−Tdi)Q_M = P_M \cdot \prod_{i \in I} (1 - T^{d_i}).

Théorème 1

L’élément QMQ_M de Z((T))\mathbf{Z}((T)) appartient à Z[T,T−1]\mathbf{Z}[T, T^{-1}]*.

Divisant H0H_0 par l’annulateur du H0H_0-module MM, on se ramène au cas où MM est un H0H_0-module fidèle. Si a,b∈Za, b \in \mathbf{Z} sont tels que MM soit engendré comme HH-module par M′=∑a≤i≤bMiM' = \sum_{a \leq i \leq b} M_i, alors M′M' est un H0H_0-module fidèle et de longueur finie ; par suite, l’anneau H0H_0 est artinien (A, VIII, § 1, no 3), donc noethérien (loc. cit., § 9, no 1). L’anneau de polynômes HH est donc noethérien (loc. cit., § 1, no 4). Si II est vide, on a H=H0H = H_0, et la famille d’entiers (long⁡H0(Mn))n∈Z(\operatorname{long}_{H_0}(M_n))_{n \in \mathbf{Z}} est à support fini, puisque MM est un H0H_0-module de type fini ; d’où le théorème dans ce cas. Raisonnons alors par récurrence sur le cardinal de l’ensemble II, supposé non vide ; soient j∈Ij \in I et J=I−{j}J = I - \{j\}. Notons H′H' le sous-anneau gradué de HH engendré par H0H_0 et les XiX_i pour ii dans JJ ; considérons l’homothétie (Xj)M(X_j)_M de rapport XjX_j dans MM, son noyau RR, et son conoyau SS. On a, pour chaque n∈Zn \in \mathbf{Z}, une suite exacte de H0H_0-modules

0→Rn−dj→Mn−dj→Mn→Sn→0, 0 \to R_{n-d_j} \to M_{n-d_j} \to M_n \to S_n \to 0 ,

donc Rn−djR_{n-d_j} et SnS_n sont de longueur finie, et l’on a

long⁡H0(Mn)−long⁡H0(Mn−dj)=long⁡H0(Sn)−long⁡H0(Rn−dj). \operatorname{long}_{H_0}(M_n) - \operatorname{long}_{H_0}(M_{n-d_j}) = \operatorname{long}_{H_0}(S_n) - \operatorname{long}_{H_0}(R_{n-d_j}) .

Puisque MM est un module de type fini sur l’anneau noethérien HH, les HH-modules RR et SS sont de type fini ; comme ils sont annulés par XjX_j, ce sont des H′H'-modules de type fini. D’après l’hypothèse de récurrence, les éléments PR⋅∏i∈J(1−Tdi)P_R \cdot \prod_{i \in J} (1 - T^{d_i}) et PS⋅∏i∈J(1−Tdi)P_S \cdot \prod_{i \in J} (1 - T^{d_i}) de Z((T))\mathbf{Z}((T)) appartiennent donc à Z[T,T−1]\mathbf{Z}[T, T^{-1}]; de (4), on tire

PM−Tdj⋅PM=PS−Tdj⋅PR, P_M - T^{d_j} \cdot P_M = P_S - T^{d_j} \cdot P_R ,

c’est-à-dire (1−Tdj)⋅PM=PS−Tdj⋅PR(1 - T^{d_j}) \cdot P_M = P_S - T^{d_j} \cdot P_R; on a donc

PM⋅∏i∈I(1−Tdi)=PS⋅∏i∈J(1−Tdi)−Tdj⋅PR⋅∏i∈J(1−Tdi), P_M \cdot \prod_{i \in I} (1 - T^{d_i}) = P_S \cdot \prod_{i \in J} (1 - T^{d_i}) - T^{d_j} \cdot P_R \cdot \prod_{i \in J} (1 - T^{d_i}) ,

d’où la conclusion.

Exemple 1

Supposons H0H_0 artinien et prenons M=HM = H. Alors, avec les notations précédentes, on a R=0R = 0 et S=H′S = H', donc d’après (5), on a QH=QH′Q_H = Q_{H'}; comme on a QH0=long⁡(H0)Q_{H_0} = \operatorname{long}(H_0), on en tire par récurrence QH=long⁡(H0)Q_H = \operatorname{long}(H_0), c’est-à-dire

PH=long⁡(H0)⋅∏i∈I(1−Tdi)−1. P_H = \operatorname{long}(H_0) \cdot \prod_{i \in I} (1 - T^{d_i})^{-1} .

Supposons désormais H muni de la graduation usuelle, pour laquelle di=1d_i = 1 pour tout i∈Ii \in I, et posons r=Card(I)r = \mathrm{Card}(I); on a PM=QM(T).(1−T)−rP_M = Q_M(T).(1 - T)^{-r}. Posons cM=QM(1)c_M = Q_M(1). Alors, d’après la formule (2) du n° 1, on a :

Corollaire

a) Si r=0r = 0, alors on a longH0(M)=cM\mathrm{long}_{H_0}(M) = c_M.

b) Si r=1r = 1, alors on a longH0(Mn)=cM\mathrm{long}_{H_0}(M_n) = c_M pour nn assez grand.

c) Si r>1r > 1, alors on a longH0(Mn)=cMnr−1(r−1)!+ρnnr−2\mathrm{long}_{H_0}(M_n) = c_M \frac{n^{r-1}}{(r-1)!} + \rho_n n^{r-2}, où ρn\rho_n tend vers une limite dans R\mathbf{R} lorsque nn augmente indéfiniment.

Remarque 1

L’entier cMc_M est positif d’après le lemme 2. On peut avoir M≠0M \neq 0 et cM=0c_M = 0 (cf. prop. 2).

Remarque 2

Soit 0→M′→M→M′′→00 \to M' \to M \to M'' \to 0 une suite exacte de H-modules gradués et d’homomorphismes de degré 0 telle que M soit de type fini sur H et MnM_n de longueur finie sur H0H_0 pour chaque nn. Alors, pour chaque n∈Zn \in \mathbf{Z}, on a

longH0(Mn)=longH0(Mn′)+longH0(Mn′′), \mathrm{long}_{H_0}(M_n) = \mathrm{long}_{H_0}(M'_n) + \mathrm{long}_{H_0}(M''_n),
donc PM=PM′+PM′′P_M = P_{M'} + P_{M''}, QM=QM′+QM′′Q_M = Q_{M'} + Q_{M''} et cM=cM′+cM′′c_M = c_{M'} + c_{M''}.

Remarque 3

Soit M(p)M(p) le module déduit de M par décalage de pp de la graduation (A, II, p. 165, exemple 3). Comme on a M(p)n=Mp+nM(p)_n = M_{p+n}, on a PM(p)=T−pPMP_{M(p)} = T^{-p}P_M, QM(p)=T−pQMQ_{M(p)} = T^{-p}Q_M et cM(p)=cMc_{M(p)} = c_M.

Exemple 2

Supposons H0H_0 artinien, et soit M un H-module gradué libre engendré par s éléments homogènes, linéairement indépendants, de degrés respectifs δ1,...,δs\delta_1, ..., \delta_s. Alors M est isomorphe à H(−δ1)⊕⋯⊕H(−δs)H(-\delta_1) \oplus \cdots \oplus H(-\delta_s). D’après les remarques 2 et 3 et l’exemple 1, on a donc

PM=long(H0)(∑i=1sTδi)(1−T)−r, P_M = \mathrm{long}(H_0)\left( \sum_{i=1}^s T^{\delta_i} \right)(1 - T)^{-r},
QM=long(H0)(∑i=1sTδi), Q_M = \mathrm{long}(H_0)\left( \sum_{i=1}^s T^{\delta_i} \right),
cM=s.long(H0). c_M = s.\mathrm{long}(H_0).

Exemple 3

Supposons toujours H0H_0 artinien ; soit M un H-module gradué, et supposons qu’il existe une suite exacte de H-modules gradués et d’homomorphismes de degré 0

0→Ln→Ln−1→⋯→L0→M→0, 0 \to L_n \to L_{n-1} \to \cdots \to L_0 \to M \to 0,
où, pour k=0,1,...,nk = 0, 1, ..., n, LkL_k est un H-module gradué libre engendré par des éléments homogènes linéairement indépendants, de degrés respectifs δk,1,...,δk,m(k)\delta_{k,1}, ..., \delta_{k,m(k)}. Alors, d’après la remarque 2 et l’exemple 2, on a
QM=long(H0).∑0≤k≤n∑1≤j≤m(k)(−1)kTδk,j, Q_M = \mathrm{long}(H_0).\sum_{0 \leq k \leq n} \sum_{1 \leq j \leq m(k)} (-1)^k T^{\delta_{k,j}},
cM=long(H0).∑0≤k≤n(−1)km(k). c_M = \mathrm{long}(H_0).\sum_{0 \leq k \leq n} (-1)^k m(k).

Remarque 4

On peut prouver (p. 88, exerc. 4) que sous les hypothèses du th. 1, les H0H_0-modules TorjH(H0,M)\mathrm{Tor}_j^H(H_0, M) sont de longueur finie, nuls pour j>rj > r, et qu’on a

cM=∑j=0r(−1)jlongH0(TorjH(H0,M)). c_M = \sum_{j=0}^r (-1)^j \mathrm{long}_{H_0}(\mathrm{Tor}_j^H(H_0, M)).
Plus précisément, les HH-modules Tj=TorjH(H0,M)T_j = \mathrm{Tor}_j^H(H_0, M) sont munis naturellement de graduations et on a
QM=∑j=0r(−1)jPTj. Q_M = \sum_{j=0}^r (-1)^j P_{T_j}.

Proposition 1

Soit MM un HH-module gradué. On suppose que MM est engendré par M0M_0 et que M0M_0 est un H0H_0-module de longueur finie. Alors on a

PM≤(1−T)−rlongH0(M0),cM≤longH0(M0). P_M \leq (1 - T)^{-r} \mathrm{long}_{H_0}(M_0), \quad c_M \leq \mathrm{long}_{H_0}(M_0).
De plus, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) cM=longH0(M0)c_M = \mathrm{long}_{H_0}(M_0); (ii) PM=longH0(M0)⋅(1−T)−rP_M = \mathrm{long}_{H_0}(M_0) \cdot (1 - T)^{-r}, c’est-à-dire M=M0M = M_0 si r=0r = 0 et
longH0(Mn)=longH0(M0)(n+r−1r−1) \mathrm{long}_{H_0}(M_n) = \mathrm{long}_{H_0}(M_0) \binom{n + r - 1}{r - 1}
pour n∈Nn \in \mathbf{N} si r>0r > 0; (iii) l’homomorphisme canonique de HH-modules
φ:H⊗H0M0→M \varphi : H \otimes_{H_0} M_0 \to M
est bijectif.

Notons RR le noyau de φ\varphi. Comme φ\varphi est surjectif, on a

PM=PH⊗M0−PR=longH0(M0)(1−T)−r−PRetcM=longH0(M0)−cR. P_M = P_{H \otimes M_0} - P_R = \mathrm{long}_{H_0}(M_0) (1 - T)^{-r} - P_R \quad \text{et} \quad c_M = \mathrm{long}_{H_0}(M_0) - c_R.
Les conditions (i), (ii) et (iii) équivalent respectivement à cR=0c_R = 0, PR=0P_R = 0 et R=0R = 0. On a donc (iii) ⇒\Rightarrow (ii) ⇒\Rightarrow (i) et il suffit de prouver que cR=0c_R = 0 implique R=0R = 0. Supposons R≠0R \neq 0 et soit 0=Nh⊂Nh−1⊂...⊂N0=M00 = N^h \subset N^{h-1} \subset ... \subset N^0 = M_0 une suite de Jordan-Hölder du H0H_0-module M0M_0. Soit RmR^m l’intersection de RR et de l’image de H⊗H0NmH \otimes_{H_0} N^m dans H⊗H0M0H \otimes_{H_0} M_0; il existe un entier mm compris entre 1 et hh tel que Rm≠Rm−1R^m \neq R^{m-1}. Posons L=Rm−1/RmL = R^{m-1}/R^m; on a 0≤cL≤cR0 \leq c_L \leq c_R et il suffit de prouver que cL≠0c_L \neq 0. Or, si kk est le corps quotient de H0H_0 par l’idéal maximal annulateur de Nm−1/NmN^{m-1}/N^m, LL s’identifie à un sous-module gradué non nul de k[(Xi)i∈I]k[(X_i)_{i \in I}]. Donc LL contient un sous-module isomorphe à un module décalé de k[(Xi)i∈I]k[(X_i)_{i \in I}]; comme ck[(Xi)i∈I]=1c_{k[(X_i)_{i \in I}]} = 1, on a donc cL≥1c_L \geq 1 (remarques 2 et 3), ce qu’on voulait démontrer.

Remarque 5

D’après A, X, p. 160, th. 1, la condition (iii) signifie que (X1,...,Xr)(X_1, ..., X_r) est une suite complètement sécante pour le HH-module MM.

Proposition 2

Supposons que H0H_0 soit un corps, et soit MM un HH-module gradué de type fini. Soit KK le corps des fractions de HH. Alors cMc_M est égal au rang du HH-module MM, c’est-à-dire à la dimension du KK-espace vectoriel M⊗HKM \otimes_H K.

Cela est clair si M=HM = H, puisque cH=1c_H = 1. Par ailleurs, soit x∈Hx \in H, homogène de degré dd, et non nul ; on a (H/xH)⊗HK=0(H/xH) \otimes_H K = 0; de la suite exacte

0→H(−d)→H→H/xH→0, 0 \to H(-d) \to H \to H/xH \to 0,
et des remarques 2 et 3, on tire cH/xH=0c_{H/xH} = 0. La proposition est donc vérifiée lorsque MM est engendré par un élément homogène. Le cas général s’en déduit, puisque tout HH-module gradué de type fini possède une suite de composition dont les quotients sont de la forme précédente.

Remarque 6

Sous les hypothèses de la prop. 2, on a donc cM=0c_M = 0 si et seulement si MM est un HH-module de torsion, ou encore si et seulement si dim⁡H(M)<r\dim_H(M) < r (§ 1, no 5, exemple 4).

3. Série de Hilbert-Samuel d’un module bien filtré

Dans la suite de ce paragraphe, nous utiliserons la notation suivante : si G∈Z((T))G \in \mathbf{Z}((T)) et si r∈Nr \in \mathbf{N}, on pose G(r)=(1−T)−rGG^{(r)} = (1 - T)^{-r}G; en particulier, si G=∑n∈ZanTnG = \sum_{n \in \mathbf{Z}} a_n T^n, alors

G(1)=∑n∈Z(∑i≤nai)Tn. G^{(1)} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \left( \sum_{i \leq n} a_i \right) T^n.
Si G≥0G \geq 0, on a G(r)≥0G^{(r)} \geq 0 pour tout r∈Nr \in \mathbf{N}.

Soient AA un anneau noethérien, qq un idéal de AA et MM un AA-module de type fini. Rappelons (III, § 3, no 1, déf. 1) qu’une filtration qq-bonne sur MM est une application F:n↦FnF : n \mapsto F_n de Z\mathbf{Z} dans l’ensemble des sous-modules de MM satisfaisant aux trois conditions suivantes : a) on a qFn⊂Fn+1⊂FnqF_n \subset F_{n+1} \subset F_n pour tout n∈Zn \in \mathbf{Z}, b) il existe n0∈Zn_0 \in \mathbf{Z} tel que qFn=Fn+1qF_n = F_{n+1} pour n≥n0n \geq n_0, c) il existe n1∈Zn_1 \in \mathbf{Z} tel que Fn1=MF_{n_1} = M. Si n0n_0 et n1n_1 satisfont aux conditions précédentes, on a, pour tout n∈Zn \in \mathbf{Z},

qn−n1M⊂Fn⊂qn−n0M q^{n-n_1}M \subset F_n \subset q^{n-n_0}M
(rappelons que l’on a posé qr=Aq^r = A pour r≤0r \leq 0, par convention).

Lemme 3

Si FF et F′F' sont deux filtrations qq-bonnes sur MM, il existe un entier mm tel que Fn′⊂Fn−mF'_n \subset F_{n-m} pour tout n∈Zn \in \mathbf{Z}. En effet, il existe n2n_2 tel que Fn′⊂qn−n2MF'_n \subset q^{n-n_2}M pour tout nn, donc Fn′⊂Fn−(n2−n1)F'_n \subset F_{n-(n_2-n_1)} pour tout nn.

Lemme 4

Soit FF une filtration qq-bonne sur MM. Si M/qMM/qM est de longueur finie, M/Fn+1M/F_{n+1} et Fn/Fn+1F_n/F_{n+1} sont de longueur finie pour tout n∈Zn \in \mathbf{Z}. Avec les notations de (7), on a long⁡(M/Fn+1)≤long⁡(M/qn−n1+1M)\operatorname{long}(M/F_{n+1}) \leq \operatorname{long}(M/q^{n-n_1+1}M) et il suffit de prouver que qnM/qn+1Mq^nM/q^{n+1}M est de longueur finie pour tout nn. On est donc ramené au cas de la filtration qq-adique. Soit (x1,...,xr)(x_1, ..., x_r) un système générateur fini du AA-module qq, et soit II l’ensemble fini des monômes de degré total nn en rr variables

X_1, ..., X_r. L’homomorphisme de (M/qM)^l dans q^nM/q^{n+1}M qui applique la famille (u_m)_{m\in I} sur l’élément ∑m(x1,...,xr) um\sum m(x_1, ..., x_r)\ u_m est surjectif. Comme M/qM est de longueur finie, q^nM/q^{n+1}M l’est aussi.

Supposons désormais M/qM de longueur finie. Soit F une filtration q-bonne sur M. Il existe n1∈Zn_1 \in \mathbf{Z} tel que Fn1=MF_{n_1} = M, donc Fn=MF_n = M pour n≤n1n \leq n_1; on définit donc un élément HM,FH_{M,F} de Z((T))\mathbf{Z}((T)) en posant

(8)

HM,F=∑n∈Zlong⁡A/q(Fn/Fn+1).Tn∈Z((T)). H_{M,F} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_{A/q}(F_n/F_{n+1}). T^n \in \mathbf{Z}((T)).

Définition 1

On appelle HM,FH_{M,F} la série de Hilbert-Samuel du A-module M (relativement à la filtration q-bonne F).

L’application n↦long⁡A(Fn/Fn+1)n \mapsto \operatorname{long}_A(F_n/F_{n+1}) s’appelle souvent la fonction de Hilbert-Samuel de M (relativement à F).

Cela s’applique notamment au cas de la filtration q-adique (Fn=qnMF_n = q^nM); on pose alors HM,F=HM,qH_{M,F} = H_{M,q}. On a donc

(9)

HM,q=∑n∈Zlong⁡A/q(qnM/qn+1M).Tn. H_{M,q} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_{A/q}(q^nM/q^{n+1}M). T^n .

Proposition 3

a) Si F est une filtration q-bonne sur M, on a

(10)

HM,F(1)=∑n∈Zlong⁡A(M/Fn+1).Tn. H_{M,F}^{(1)} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_A(M/F_{n+1}). T^n .

b) Si F et F’ sont deux filtrations q-bonnes sur M, il existe un entier m tel que HM,F′(1)≥TmHM,F(1)H_{M,F'}^{(1)} \geq T^m H_{M,F}^{(1)}.

La partie a) résulte aussitôt de la définition de HM,F(1)H_{M,F}^{(1)}; la partie b) résulte de a) et du lemme 3.

Théorème 2

Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module de type fini tel que M/qM soit non nul et de longueur finie et F une filtration q-bonne sur M.

a) Il existe un entier d ≥0\geq 0, et un élément R de Z[T,T−1]\mathbf{Z}[T, T^{-1}], uniquement déterminés, tels que R(1)>0R(1) > 0 et HM,F=(1−T)−dRH_{M,F} = (1 - T)^{-d}R.

b) Les entiers d et R(1) sont indépendants de la filtration q-bonne F choisie.

a) Considérons l’anneau gradué gr(A) tel que gr⁡n(A)=qn/qn+1\operatorname{gr}_n(A) = q^n/q^{n+1} et le gr(A)-module gradué gr(M) tel que gr⁡n(M)=Fn/Fn+1\operatorname{gr}_n(M) = F_n/F_{n+1}. Puisque l’on a Fn1=MF_{n_1} = M et qFn=Fn+1qF_n = F_{n+1} pour n≥n0n \geq n_0, gr(M) est engendré par ⨁n1≤n≤n0gr⁡n(M)\bigoplus_{n_1 \leq n \leq n_0} \operatorname{gr}_n(M), donc est de type fini. Par ailleurs, si (x1,...,xr)(x_1, ..., x_r) est un système générateur fini du A-module q, gr(A) est engendré par gr⁡0(A)\operatorname{gr}_0(A) et les classes des xix_i modulo q2q^2, donc est isomorphe à un anneau gradué quotient de H=(A/q)[X1,...,Xr]H = (A/q)[X_1, ..., X_r]. D’après le th. 1 du n° 2, on a

(1−T)rHM,F∈Z[T,T−1]. (1 - T)^r H_{M,F} \in \mathbf{Z}[T, T^{-1}] .
On a HM,F≠0H_{M,F} \neq 0 et il existe donc d∈Nd \in \mathbf{N} et R∈Z[T,T−1]R \in \mathbf{Z}[T, T^{-1}] uniquement déterminés tels que R(1)>0R(1) > 0 et HM,F=(1−T)−d.RH_{M,F} = (1 - T)^{-d}.R (lemme 2 du n° 1).

b) Soit F′F' une autre filtration q-bonne et écrivons de même

HM,F′=(1−T)−d′R′. H_{M,F'} = (1 - T)^{-d'} R'.
D’après la prop. 3, b), il existe un entier mm tel que (1−T)−d′−1R′≥Tm(1−T)−d−1R(1 - T)^{-d' - 1} R' \geq T^m (1 - T)^{-d - 1} R. D’après le lemme 2, b) du n° 1, cela implique d′≥dd' \geq d et, si d′=dd' = d, R′(1)≥R(1)R'(1) \geq R(1). Échangeant les rôles de FF et F′F', on obtient d=d′d = d' et R(1)=R′(1)R(1) = R'(1).

Remarque 1

Avec les notations de a), écrivons R=∑i∈ZaiTiR = \sum_{i \in \mathbf{Z}} a_i T^i, et supposons d>0d > 0. D’après le n° 1, la relation HM,F=(1−T)−dRH_{M,F} = (1 - T)^{-d} R s’écrit aussi

(11)long⁡A(Fn/Fn+1)=∑i∈Zai(n−i+d−1d−1)=∑i≤nai(n−i+d−1d−1). \text{(11)} \quad \operatorname{long}_A(F_n/F_{n+1}) = \sum_{i \in \mathbf{Z}} a_i \binom{n - i + d - 1}{d - 1} = \sum_{i \leq n} a_i \binom{n - i + d - 1}{d - 1}.
De même, puisque HM,F(1)=(1−T)−d−1RH^{(1)}_{M,F} = (1 - T)^{-d - 1} R, on a
(12)long⁡A(M/Fn+1)=∑i∈Zai(n−i+dd)=∑i≤nai(n−i+dd). \text{(12)} \quad \operatorname{long}_A(M/F_{n+1}) = \sum_{i \in \mathbf{Z}} a_i \binom{n - i + d}{d} = \sum_{i \leq n} a_i \binom{n - i + d}{d}.

Soient AA un anneau noethérien, qq un idéal de AA, MM un AA-module de type fini tel que M/qMM/qM soit de longueur finie. Si M≠qMM \neq qM, il existe d’après le th. 2, b) des entiers dq(M)≥0d_q(M) \geq 0 et eq(M)>0e_q(M) > 0 tels que, pour toute filtration q-bonne FF sur MM, il existe R∈Z[T,T−1]R \in \mathbf{Z}[T, T^{-1}] avec

HM,F=(1−T)−dq(M)R,R(1)=eq(M). H_{M,F} = (1 - T)^{-d_q(M)} R , \quad R(1) = e_q(M) .
Si M=qMM = qM, on pose par convention dq(M)=−∞d_q(M) = -\infty, eq(M)=0e_q(M) = 0.

Remarque 2

Dire que M/qMM/qM est de longueur finie signifie que

Supp⁡(M/qM)=Supp⁡(M)∩V(q) \operatorname{Supp}(M/qM) = \operatorname{Supp}(M) \cap V(q)
est formé d’idéaux maximaux (IV, § 2, n° 5, prop. 7). Nous verrons ci-dessous (n° 4, corollaire au th. 3) que dq(M)d_q(M) est la borne supérieure des nombres dim⁡Am(Mm)\dim_{A_m}(M_m), où mm parcourt l’ensemble Supp⁡(M)∩V(q)\operatorname{Supp}(M) \cap V(q).

Corollaire

Soient AA un anneau noethérien, qq un idéal de AA, MM un AA-module de type fini tel que M/qMM/qM soit de longueur finie et FF une filtration q-bonne sur MM. a) Pour que l’on ait dq(M)≤0d_q(M) \leq 0, il faut et il suffit que la suite (qnM)(q^n M) soit stationnaire, ou encore que la suite (Fn)(F_n) soit stationnaire. On a alors, pour tout nn assez grand,

long⁡(M/Fn+1)=long⁡(M/qn+1M)=eq(M). \operatorname{long}(M/F_{n+1}) = \operatorname{long}(M/q^{n+1}M) = e_q(M) .
b) Supposons que l’on ait dq(M)>0d_q(M) > 0. On a alors
(13)long⁡A(Fn/Fn+1)=eq(M)ndq(M)−1/(dq(M)−1)!+ρnndq(M)−2, \text{(13)} \quad \operatorname{long}_A(F_n/F_{n+1}) = e_q(M) n^{d_q(M) - 1}/(d_q(M) - 1)! + \rho_n n^{d_q(M) - 2},
(14)long⁡A(M/Fn+1)=eq(M)ndq(M)/dq(M)!+σnndq(M)−1, \text{(14)} \quad \operatorname{long}_A(M/F_{n+1}) = e_q(M) n^{d_q(M)}/d_q(M)! + \sigma_n n^{d_q(M) - 1},
où ρn\rho_n et σn\sigma_n tendent vers une limite lorsque nn augmente indéfiniment. Cela résulte aussitôt du th. 2 et de la formule (2) du n° 1.

Remarque 3

Supposons q contenu dans le radical de A. Alors, d’après le lemme de Nakayama, la suite (q^nM) est stationnaire si et seulement si l’on a q^nM = 0 pour n assez grand. Il résulte alors de la partie a) du corollaire que l’on a d_q(M) \leq 0 si et seulement si M est de longueur finie et qu’on a alors e_q(M) = \operatorname{long}_A(M).

Proposition 4

Soient A un anneau noethérien, x_1, ..., x_r des éléments de A, x l’idéal qu’ils engendrent et M un A-module de type fini tel que M/xM soit non nul et de longueur finie. a) On a d_x(M) \leq r. b) Si d_x(M) = r, alors e_x(M) \leq \operatorname{long}_A(M/xM). c) Si la suite (x_1, ..., x_r) est complètement sécante pour M (A, X, p. 157), alors d_x(M) = r et e_x(M) = \operatorname{long}_A(M/xM). La réciproque est vraie si les x_i appartiennent au radical de A.

Soit H l’anneau de polynômes (A/x)[X_1, ..., X_r]. Munissons G = \bigoplus_n x^nM/x^{n+1}M de la structure de H-module gradué pour laquelle (X_i)_G est la multiplication par la classe de x_i modulo x^2. Avec les notations P_G, Q_G, c_G du no 2, on a H_{M,x} = P_G, donc (1 - T)^{-d_x(M)}R = (1 - T)^{-r}Q_G, où R(1) = e_x(M) > 0 et Q_G(1) = c_G.

On a donc, soit d_x(M) < r et c_G = 0, soit d_x(M) = r et c_G = e_x(M). Par ailleurs, d’après la prop. 1 du no 2, on a c_G \leq \operatorname{long}(M/xM), et il y a égalité si et seulement si l’homomorphisme canonique A/x[X_1, ..., X_r] \otimes_{A/x} M/xM \to \bigoplus_n x^nM/x^{n+1}M est bijectif. Cela entraîne la proposition, compte tenu de A, X, p. 160, th. 1.

Proposition 5

Soient 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 une suite exacte de modules de type fini sur un anneau noethérien A, et q un idéal de A. a) Pour que M/qM soit de longueur finie, il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de M'/qM' et M''/qM''. b) Supposons M/qM de longueur finie. Alors l’on est dans l’un des trois cas suivants : 1) d_q(M) = d_q(M') > d_q(M'') \text{ et } e_q(M) = e_q(M'), 2) d_q(M) = d_q(M'') > d_q(M') \text{ et } e_q(M) = e_q(M''), 3) d_q(M) = d_q(M') = d_q(M'') \text{ et } e_q(M) = e_q(M') + e_q(M''). a) On a Supp(M) = Supp(M') \cup Supp(M'') et l’assertion résulte de la remarque 2. b) Munissons M d’une filtration q-bonne F (par exemple la filtration q-adique), M'' de la filtration quotient F'', et M' de la filtration induite F'. Les filtrations F' et F'' sont q-bonnes (III, § 3, no 1, prop. 1). Alors on a pour chaque n une suite exacte de A-modules

0→Fn′/Fn+1′→Fn/Fn+1→Fn′′/Fn+1′′→0 0 \to F'_n/F'_{n+1} \to F_n/F_{n+1} \to F''_n/F''_{n+1} \to 0
(III, § 2, no 4, prop. 2), de sorte que l’on a H_{M,F} = H_{M',F'} + H_{M'',F''}, ou encore
(1−T)−dq(M)R=(1−T)−dq(M′)R′+(1−T)−dq(M′′)R′′ (1 - T)^{-d_q(M)}R = (1 - T)^{-d_q(M')}R' + (1 - T)^{-d_q(M'')}R''
avec R, R', R'' \in \mathbf{Z}[T, T^{-1}], R(1) = e_q(M), R'(1) = e_q(M'), R''(1) = e_q(M''). L’assertion b) en résulte aussitôt.

4. Degré de la fonction de Hilbert-Samuel

Théorème 3

Soient AA un anneau local noethérien, qq un idéal de AA distinct de AA et MM un AA-module de type fini tel que M/qMM/qM soit de longueur finie. Alors l’entier dq(M)d_q(M) est la dimension du AA-module MM (§1§ 1, no 4, déf. 8).

On peut supposer M≠0M \neq 0. Démontrons l’inégalité dq(M)≤dim⁡A(M)d_q(M) \leq \dim_A(M). D’après le cor. 2 à la prop. 9 du §3§ 3, no 5, il existe x1,...,xr∈qx_1, ..., x_r \in q, avec r=dim⁡A(M)r = \dim_A(M) et long⁡(M/∑i=1rxiM)<+∞\operatorname{long}(M / \sum_{i=1}^r x_i M) < +\infty; posons x=∑i=1rxiAx = \sum_{i=1}^r x_i A. D’après la prop. 4 du no 3, on a dx(M)≤rd_x(M) \leq r; on a x⊂qx \subset q, d’où HM,q(1)≤HM,x(1)H^{(1)}_{M,q} \leq H^{(1)}_{M,x} et donc (lemme 2 du no 1)

dq(M)≤dx(M)≤r=dim⁡A(M). d_q(M) \leq d_x(M) \leq r = \dim_A(M).

Démontrons maintenant, par récurrence sur dim⁡A(M)\dim_A(M), l’inégalité dim⁡A(M)≤dq(M)\dim_A(M) \leq d_q(M), évidente lorsque dim⁡A(M)=0\dim_A(M) = 0.

Supposons qu’on ait dim⁡A(M)>0\dim_A(M) > 0, et dim⁡A(N)≤dq(N)\dim_A(N) \leq d_q(N) pour tout AA-module de type fini NN tel que dim⁡A(N)<dim⁡A(M)\dim_A(N) < \dim_A(M). Si 0=M0⊂M1⊂...⊂Mn=M0 = M_0 \subset M_1 \subset ... \subset M_n = M est une suite de composition de MM, on a dim⁡A(M)=sup⁡(dim⁡A(Mi/Mi−1))\dim_A(M) = \sup(\dim_A(M_i/M_{i-1})) (§1§ 1, no 4, prop. 9) et dq(M)=sup⁡(dq(Mi/Mi−1))d_q(M) = \sup(d_q(M_i/M_{i-1})) (no 3, prop. 5). D’après IV, §1§ 1, no 4, th. 1, on peut donc supposer que MM est de la forme A/pA/p, où pp est un idéal premier de AA, et l’on a p≠mAp \neq m_A car dim⁡A(M)>0\dim_A(M) > 0. Soit x∈mA−px \in m_A - p; l’homothétie xMx_M de M=A/pM = A/p est injective, et l’on a la suite exacte

0⟶M→xMM⟶M/xM⟶0. 0 \longrightarrow M \xrightarrow{x_M} M \longrightarrow M/xM \longrightarrow 0.

D’après le §3§ 3, no 2, prop. 3, on a dim⁡A(M/xM)=dim⁡A(M)−1\dim_A(M/xM) = \dim_A(M) - 1; d’après la prop. 5 du no 3, et la suite exacte précédente, on a dq(M/xM)≤dq(M)−1d_q(M/xM) \leq d_q(M) - 1. D’après l’hypothèse de récurrence, on a donc

dim⁡A(M)=dim⁡A(M/xM)+1≤dq(M/xM)+1≤dq(M), \dim_A(M) = \dim_A(M/xM) + 1 \leq d_q(M/xM) + 1 \leq d_q(M),

ce qui achève la démonstration.

Corollaire

Soient AA un anneau noethérien, MM un AA-module de type fini et qq un idéal de AA tel que M/qMM/qM soit de longueur finie. Alors dq(M)d_q(M) est la borne supérieure des dimensions dim⁡Am(Mm)\dim_{A_m}(M_m), où mm parcourt l’ensemble fini S=Supp⁡(M)∩V(q)S = \operatorname{Supp}(M) \cap V(q), et eq(M)e_q(M) est la somme des eqm(Mm)e_{q_m}(M_m) étendue à ceux des éléments mm de SS pour lesquels on a dim⁡Am(Mm)=dq(M)\dim_{A_m}(M_m) = d_q(M).

Pour chaque entier nn, la longueur de M/qnMM/q^nM est la somme des long⁡Am(Mm/qmnMm)\operatorname{long}_{A_m}(M_m/q^n_m M_m) (IV, §2§ 2, no 5, cor. 1 à la prop. 7 et corollaire à la prop. 8). Par conséquent, on a HM,q=∑m∈SHMm,qmH_{M,q} = \sum_{m \in S} H_{M_m,q_m}, d’où le corollaire.

Remarque 1

On a aussi dq(M)=sup⁡m∈V(q)dim⁡(Mm)d_q(M) = \sup_{m \in V(q)} \dim(M_m), c’est-à-dire dq(M)=dim⁡(M^)d_q(M) = \dim(\hat{M}), où M^\hat{M} est le complété de MM pour la topologie q-adique (§3§ 3, no 4, prop. 8).

Remarque 2

Supposons q contenu dans le radical de A ; alors dim⁡(M^)=dim⁡(M)\dim(\hat{M}) = \dim(M) (loc. cit., cor. 1), donc d(M)=dim⁡(M)d(M) = \dim(M).

5. Série de Hilbert-Samuel d’un module quotient

Lemme 5

Soient A un anneau, M un A-module et (Pn),(Qn)(P_n), (Q_n) deux filtrations décroissantes sur M formées de sous-modules. Supposons que l’on ait Pn⊃QnP_n \supset Q_n et long⁡A(Pn/Qn)<+∞\operatorname{long}_A(P_n/Q_n) < +\infty pour tout n∈Zn \in \mathbf{Z} et qu’il existe un entier n1n_1 tel que Qn1=MQ_{n_1} = M. Dans Z((T))\mathbf{Z}((T)), on a les inégalités

∑n∈Zlong⁡A((Pn+1∩Qn)/Qn+1).Tn≤∑n∈Zlong⁡A(Pn+1/Qn+1).Tn≤ \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_A((P_{n+1} \cap Q_n)/Q_{n+1}).T^n \leq \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_A(P_{n+1}/Q_{n+1}).T^n \leq
≤(1−T)−1∑n∈Zlong⁡A((Pn+1∩Qn)/Qn+1).Tn. \leq (1-T)^{-1} \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_A((P_{n+1} \cap Q_n)/Q_{n+1}).T^n .

Il s’agit de prouver qu’on a les inégalités

(15) long⁡((Pn+1∩Qn)/Qn+1)≤long⁡(Pn+1/Qn+1)\operatorname{long}((P_{n+1} \cap Q_n)/Q_{n+1}) \leq \operatorname{long}(P_{n+1}/Q_{n+1}), (16) long⁡(Pn+1/Qn+1)≤∑i≤nlong⁡((Pi+1∩Qi)/Qi+1)\operatorname{long}(P_{n+1}/Q_{n+1}) \leq \sum_{i \leq n} \operatorname{long}((P_{i+1} \cap Q_i)/Q_{i+1}).

La première est évidente. D’autre part, on a Pn+1∩Qi=Pn+1P_{n+1} \cap Q_i = P_{n+1} pour i≤n1i \leq n_1 et Pn+1∩Qn+1=Qn+1P_{n+1} \cap Q_{n+1} = Q_{n+1}; on en déduit l’inégalité

long⁡(Pn+1/Qn+1)≤∑i≤nlong⁡((Pn+1∩Qi)/(Pn+1∩Qi+1)). \operatorname{long}(P_{n+1}/Q_{n+1}) \leq \sum_{i \leq n} \operatorname{long}((P_{n+1} \cap Q_i)/(P_{n+1} \cap Q_{i+1})) .

Mais le A-module (Pn+1∩Qi)/(Pn+1∩Qi+1)(P_{n+1} \cap Q_i)/(P_{n+1} \cap Q_{i+1}) est isomorphe à un sous-module de (Pi+1∩Qi)/Qi+1(P_{i+1} \cap Q_i)/Q_{i+1}, et l’inégalité (16) en résulte.

Lemme 6

Soient A un anneau, M un A-module et (Fn)(F_n) une filtration décroissante sur M formée de sous-modules ; on suppose qu’il existe un entier n1n_1 tel que Fn1=MF_{n_1} = M. Soient f un endomorphisme de M, M′M' son noyau et M′′M'' son conoyau. On munit M′M' de la filtration (Fn′)(F'_n) induite par (Fn)(F_n) et M′′M'' de la filtration (Fn′′)(F''_n) quotient de (Fn)(F_n). On suppose que Fn/Fn+1F_n/F_{n+1} est de longueur finie pour tout n∈Zn \in \mathbf{Z} et qu’il existe un entier δ\delta tel que f(Fn)⊂Fn+δf(F_n) \subset F_{n+\delta}. Soit φ\varphi l’endomorphisme gradué de degré δ\delta du module gradué gr(M)=⨁n∈ZFn/Fn+1\mathrm{gr}(M) = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} F_n/F_{n+1} qu’on déduit de f. Entre les éléments suivants de Z((T))\mathbf{Z}((T))

HM=∑n∈Zlong⁡A(Fn/Fn+1).Tn H_M = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_A(F_n/F_{n+1}).T^n
HM′=∑n∈Zlong⁡A(Fn′/Fn+1′).Tn H_{M'} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_A(F'_n/F'_{n+1}).T^n
HM′′=∑n∈Zlong⁡A(Fn′′/Fn+1′′).Tn H_{M''} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_A(F''_n/F''_{n+1}).T^n
PKer(φ)=∑n∈Zlong⁡A(Ker(φn)).Tn, P_{\mathrm{Ker}(\varphi)} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{long}_A(\mathrm{Ker}(\varphi_n)).T^n ,

on a les inégalités

(17) HM′≤PKer(φ)H_{M'} \leq P_{\mathrm{Ker}(\varphi)}

(18) (1−Tδ).HM(1)+Tδ.PKer(φ)≤HM′′(1)≤(1−Tδ).HM(1)+Tδ.PKer(φ)(1)(1 - T^\delta).H_M^{(1)} + T^\delta.P_{\mathrm{Ker}(\varphi)} \leq H_{M''}^{(1)} \leq (1 - T^\delta).H_M^{(1)} + T^\delta.P_{\mathrm{Ker}(\varphi)}^{(1)}.

La suite des sous-modules Gn=f−1(Fn+δ)G_n = f^{-1}(F_{n+\delta}) de MM est une filtration décroissante, et l’on a Fn⊂GnF_n \subset G_n pour tout entier nn. Par définition, on a Ker(φn)=(Gn+1∩Fn)/Fn+1\mathrm{Ker}(\varphi_n) = (G_{n+1} \cap F_n)/F_{n+1}, d’où

(19) PKer(φ)=∑n∈ZlongA((Gn+1∩Fn)/Fn+1).TnP_{\mathrm{Ker}(\varphi)} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \mathrm{long}_A((G_{n+1} \cap F_n)/F_{n+1}).T^n.

Pour tout nn, le A-module (M′∩Fn)/(M′∩Fn+1)(M' \cap F_n)/(M' \cap F_{n+1}) s’identifie à un sous-module de (Gn+1∩Fn)/Fn+1(G_{n+1} \cap F_n)/F_{n+1}, et l’inégalité (17) résulte aussitôt de (19). D’après le lemme 5, on a par ailleurs

(20) PKer(φ)≤∑n∈ZlongA(Gn+1/Fn+1).Tn≤PKer(φ)(1)P_{\mathrm{Ker}(\varphi)} \leq \sum_{n \in \mathbf{Z}} \mathrm{long}_A(G_{n+1}/F_{n+1}).T^n \leq P_{\mathrm{Ker}(\varphi)}^{(1)}.

Pour tout n∈Zn \in \mathbf{Z}, on a une suite exacte de A-modules

0⟶Gn+1/Fn+1⟶M/Fn+1→fnM/Fn+δ+1⟶M′′/Fn+δ+1′′⟶0, 0 \longrightarrow G_{n+1}/F_{n+1} \longrightarrow M/F_{n+1} \xrightarrow{f_n} M/F_{n+\delta+1} \longrightarrow M''/F''_{n+\delta+1} \longrightarrow 0,

où fnf_n se déduit de ff par passage aux quotients. On a par conséquent

longA(M′′/Fn+δ+1′′)=longA(M/Fn+δ+1)−longA(M/Fn+1)+longA(Gn+1/Fn+1)\mathrm{long}_A(M''/F''_{n+\delta+1}) = \mathrm{long}_A(M/F_{n+\delta+1}) - \mathrm{long}_A(M/F_{n+1}) + \mathrm{long}_A(G_{n+1}/F_{n+1}).

Multipliant par Tn+δT^{n+\delta} et sommant sur nn, on obtient

(21) HM′′(1)=(1−Tδ)HM(1)+Tδ.∑n∈ZlongA(Gn+1/Fn+1).Tn,H_{M''}^{(1)} = (1 - T^\delta)H_M^{(1)} + T^\delta.\sum_{n \in \mathbf{Z}} \mathrm{long}_A(G_{n+1}/F_{n+1}).T^n,

et l’inégalité (18) résulte aussitôt de (20) et (21).

Lemme 7

Conservons les notations du lemme 6.

a) On a l’inégalité HM′′(1)≥1−Tδ1−THMH_{M''}^{(1)} \geq \frac{1 - T^\delta}{1 - T} H_M.

b) Pour que l’on ait égalité, il faut et il suffit que φ\varphi soit injectif.

c) S’il en est ainsi, on a M′⊂⋂nFnM' \subset \bigcap_n F_n, et la suite de A-modules

0⟶gr(M)→φgr(M)→vgr(M′′)⟶0, 0 \longrightarrow \mathrm{gr}(M) \xrightarrow{\varphi} \mathrm{gr}(M) \xrightarrow{v} \mathrm{gr}(M'') \longrightarrow 0,

où vv est l’application canonique, est exacte.

Les assertions a) et b) résultent de la formule (18) du lemme 6, et de la définition HM(1)=(1−T)−1.HMH_M^{(1)} = (1 - T)^{-1}.H_M.

Supposons que φ\varphi soit injectif. D’après III, § 2, no 8, th. 1, (i), on a

Ker(f)⊂f−1(Fn+δ)=Fn \mathrm{Ker}(f) \subset f^{-1}(F_{n+\delta}) = F_n

pour tout nn, d’où la première assertion de c). On a par ailleurs une suite exacte

0⟶M/M′→f′M⟶M/f(M)⟶0, 0 \longrightarrow M/M' \xrightarrow{f'} M \longrightarrow M/f(M) \longrightarrow 0,

où f′f' est déduit de ff par passage au quotient. Si φ\varphi est injectif, on a comme ci-dessus f′−1(Fn)=Fn−δ/M′{f'}^{-1}(F_n) = F_{n-\delta}/M'. Par suite la filtration sur M/M′M/M' déduite par image réciproque par f′f' de la filtration FF sur MM est la filtration n↦Fn−δ/M′n \mapsto F_{n-\delta}/M'; le gradué associé est gr(M)(−δ)\mathrm{gr}(M)(-\delta) et on a une suite exacte de modules gradués (III, § 2, no 4, prop. 2)

0⟶gr(M)(−δ)→φ′gr(M)⟶gr(M′′)⟶0, 0 \longrightarrow \mathrm{gr}(M)(-\delta) \xrightarrow{\varphi'} \mathrm{gr}(M) \longrightarrow \mathrm{gr}(M'') \longrightarrow 0,

où φn′=φn−δ\varphi'_n = \varphi_{n-\delta} pour tout nn. Cela achève de démontrer c).

Proposition 6

Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini et q un idéal de A tels que M/qM soit de longueur finie. Soit F une filtration q-bonne de M, et soit gr(A)=⨁n≥0(qn/qn+1)\mathrm{gr}(A) = \bigoplus_{n \geq 0} (q^n/q^{n+1}) l’anneau gradué associé à A pour la filtration q-adique.

Soient (x1,...,xs)(x_1, ..., x_s) une suite d’éléments de A, (δ1,...,δs)(\delta_1, ..., \delta_s) une suite d’entiers strictement positifs telle que xi∈qδix_i \in q^{\delta_i} pour 1≤i≤s1 \leq i \leq s, et soit ξi\xi_i la classe de xix_i dans grδi(A)=qδi/qδi+1\mathrm{gr}_{\delta_i}(A) = q^{\delta_i}/q^{\delta_i+1}.

a) Munissons le A-module M‾=M/(x1M+⋯+xsM)\overline{M} = M/(x_1M + \cdots + x_sM) de la filtration q-bonne F‾\overline{F} quotient de F. On a alors dans Z((T))\mathbf{Z}((T)) l’inégalité

HM‾,F‾(s)≥(∏i=1s1−Tδi1−T)⋅HM,F. H_{\overline{M}, \overline{F}}^{(s)} \geq \left( \prod_{i=1}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T} \right) \cdot H_{M, F}.

b) Pour qu’il y ait égalité dans (22), il faut et il suffit que la suite (ξ1,...,ξs)(\xi_1, ..., \xi_s) d’éléments de l’anneau gr(A)\mathrm{gr}(A) soit complètement sécante pour le module gr(M)=⨁n(Fn/Fn+1)\mathrm{gr}(M) = \bigoplus_{n} (F_n/F_{n+1}).

En ce cas, l’homomorphisme canonique de gr(M)/∑i=1sξi⋅gr(M)\mathrm{gr}(M)/\sum_{i=1}^s \xi_i \cdot \mathrm{gr}(M) dans gr(M‾)=⨁(F‾n/F‾n+1)\mathrm{gr}(\overline{M}) = \bigoplus (\overline{F}_n/\overline{F}_{n+1}) est un isomorphisme.

c) Supposons les conditions de b) satisfaites, et que chacun des A-modules Mi=M/(x1M+⋯+xiM)M_i = M/(x_1M + \cdots + x_iM) (0≤i<s0 \leq i < s) soit séparé pour la topologie q-adique¹. Alors la suite (x1,...,xs)(x_1, ..., x_s) est complètement sécante pour le A-module M.

Lorsque s=1s = 1, on a ⋂nFn=⋂nqnM\bigcap_n F_n = \bigcap_n q^nM et la suite {ξ1}\{ \xi_1 \} est complètement sécante pour gr(M)\mathrm{gr}(M) si et seulement si l’homothétie de rapport ξ1\xi_1 dans gr(M)\mathrm{gr}(M) est injective. La prop. 6 résulte alors aussitôt du lemme 7 appliqué à l’homothétie f=(x1)Mf = (x_1)_M dans M.

Supposons que l’on ait s≥2s \geq 2 et raisonnons par récurrence sur s. L’hypothèse de récurrence appliquée au A-module M1=M/x1MM_1 = M/x_1M muni de la filtration G quotient de F, et à la suite (x2,...,xs)(x_2, ..., x_s) fournit l’inégalité

HM1,G(s−1)≥(∏i=2s1−Tδi1−T)⋅HM1,G; H_{M_1, G}^{(s-1)} \geq \left( \prod_{i=2}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T} \right) \cdot H_{M_1, G};

¹ Ceci se produit en particulier si q est contenu dans le radical de A (III, § 3, no 3, prop. 6).

il y a égalité si et seulement si la suite (ξ2,...,ξs)(\xi_2, ..., \xi_s) est complètement sécante pour le gr(A)-module gr(M1)=⨁nGn/Gn+1gr(M_1) = \bigoplus_n G_n/G_{n+1}. Comme les éléments 1−Tδi1−T\frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T} de Z((T))\mathbf{Z}((T)) sont positifs, le cas s=1s = 1 déjà traité et la formule (23) fournissent les inégalités

HM,F(s)≥(∏i=2s1−Tδi1−T)⋅HM1,G(1)≥(∏i=1s1−Tδi1−T)⋅HM,F. H^{(s)}_{M,F} \geq \left( \prod_{i=2}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T} \right) \cdot H^{(1)}_{M_1,G} \geq \left( \prod_{i=1}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T} \right) \cdot H_{M,F}.

Ceci prouve a).

On ne peut avoir égalité dans (22) que si l’on a simultanément l’égalité dans (23) et l’égalité

HM1,G(1)=(1−Tδ11−T)⋅HM,F. H^{(1)}_{M_1,G} = \left( \frac{1 - T^{\delta_1}}{1 - T} \right) \cdot H_{M,F}.

Cette dernière relation signifie que {ξ1}\{\xi_1\} est complètement sécante pour gr(M) et implique que l’homomorphisme canonique de gr(M)/ξ1⋅\xi_1\cdotgr(M) dans gr(M_1) est un isomorphisme. Autrement dit, on a égalité dans (22) si et seulement si {ξ1}\{\xi_1\} est complètement sécante pour gr(M) et {ξ2,...,ξs}\{\xi_2, ..., \xi_s\} complètement sécante pour gr(M)/ξ1⋅\xi_1\cdotgr(M). Ceci signifie que {ξ1,...,ξs}\{\xi_1, ..., \xi_s\} est complètement sécante pour gr(M) (A, X, p. 160, cor. 2). On a ainsi démontré l’équivalence des deux conditions de b). Supposons-les satisfaites ; alors, d’après l’hypothèse de récurrence gr(M) s’identifie à gr(M1)/∑i=2sξi⋅gr(M1)gr(M_1)/\sum_{i=2}^s \xi_i \cdot gr(M_1); comme par ailleurs gr(M_1) s’identifie à gr(M)/ξ1⋅\xi_1\cdotgr(M), la dernière assertion de b) est ainsi satisfaite.

Supposons maintenant que {ξ1,...,ξs}\{\xi_1, ..., \xi_s\} soit complètement sécante pour gr(M) et M_i séparé pour la topologie q-adique (pour 0≤i<s0 \leq i < s). D’après ce qui précède et l’hypothèse de récurrence, la suite (x2,...,xs)(x_2, ..., x_s) est complètement sécante pour M_1 ; comme on a M1=M/x1MM_1 = M/x_1M et que {x1}\{x_1\} est complètement sécante pour M, la suite (x1,x2,...,xs)(x_1, x_2, ..., x_s) est complètement sécante pour M (A, X, p. 160, th. 1).

Exercices

See the exercises for § 4.

Transcribed from the printed volume. Not translated.