Soit $q \subset p$ un idéal premier distinct de $p$. On a $x \notin q$ vu le caractère minimal de $p$. Comme $A$ est intègre, $A_p$ s’identifie à un sous-anneau de $A_q$; pour tout entier $n \geq 0$, on note $q_n$ l’idéal $q^n A_q \cap A_p$ de $A_p$. Le caractère minimal de $p$ signifie que l’anneau local $A_p / xA_p$ est de dimension 0 ; il est donc de longueur finie ($§ 1$, no 3, exemple 1), et il existe un entier $n_0 \geq 0$ tel que l’on ait

Fixons l’entier $n \geq n_0$. Étant donné $y \in q_n$, il existe $a \in A_p$ tel que $y - ax \in q_{n+1}$; on a alors $ax \in q_n$, d’où $a \in q_n$ puisque $x \notin q$, et finalement on a $y \in q_{n+1} + xq_n$. On a donc

Comme $x$ appartient à l’idéal maximal de l’anneau local noethérien $A_p$, le lemme de Nakayama montre que l’on a $q_n = q_{n+1}$. Comme on a $(qA_q)^n = q_n A_q$, on en conclut

Comme l’anneau $A_q$ est local et noethérien, on a $\bigcap_{n \geq 0} (qA_q)^n = \{0\}$ (III, § 3, no 2, corollaire de la prop. 5) d’où $(qA_q)^{n_0} = \{0\}$ et finalement l’idéal premier $qA_q$ de $A_q$ est réduit à 0. On a donc $q = \{0\}$, ce qui prouve que $p$ est de hauteur 1.

L’inégalité $\dim(A/a) \leq \dim(A)$ résulte de la prop. 6 du § 1, no 3. Une récurrence immédiate sur $m$ montre qu’il suffit d’établir l’inégalité

pour tout élément $x$ du radical de $A$, c’est-à-dire de démontrer que l’on a $\dim(A/xA) \geq n - 1$ pour toute chaîne $p_0 \subset ... \subset p_n$ d’idéaux premiers de $A$, de longueur $n \geqslant 1$, et telle que $x \in p_n$. Il suffit de construire une chaîne $q_1 \subset ... \subset q_n$ d’idéaux premiers de $A$, avec $x \in q_1$ et cela résulte du lemme suivant :

Raisonnons par récurrence sur $n$, le cas $n = 1$ étant trivial. Supposons donc que l’on ait $n \geqslant 2$ et que $x$ n’appartienne pas à $p_{n-1}$. Soit $p'_{n-1}$ un élément minimal de l’ensemble des idéaux premiers de $A$ contenus dans $p'_n = p_n$ et contenant $p_{n-2} + Ax$ (II, § 2, no 6, lemme 2). D’après la prop. 1, l’idéal $p'_{n-1}/p_{n-2}$ de l’anneau $A/p_{n-2}$ est de hauteur 1, et comme $p_{n-2} \subset p_{n-1} \subset p_n$ est une chaîne de longueur 2, il en est de même de $p_{n-2} \subset p'_{n-1} \subset p'_n$. On a $x \in p'_{n-1}$. L’hypothèse de récurrence appliquée à la chaîne $p_0 \subset p_1 \subset ... \subset p_{n-2} \subset p'_{n-1}$ montre qu’il existe une chaîne $p'_0 \subset p'_1 \subset ... \subset p'_{n-2} \subset p'_{n-1}$ avec $x \in p'_1$ et $p'_0 = p_0$. La chaîne

a) Soient $A$ un anneau semi-local noethérien non nul et $a$ son radical ; l’anneau quotient $A/a$ est artinien et non nul, donc de dimension 0 ($§ 1$, no 3, exemple 1). Il existe un entier $m \geqslant 0$ tel que l’idéal $a$ de $A$ soit engendré par $m$ éléments ; on a donc $0 \leqslant \dim(A) \leqslant m$ d’après la prop. 2. b) Soit $a \neq A$ un idéal de $A$, et soit $m$ un idéal maximal de $A$ contenant $a$. On a $0 \leqslant \mathrm{ht}(a) \leqslant \dim(A_m)$ d’après la prop. 7 du $§ 1$, no 3, et $A_m$ est un anneau local noethérien. Donc $\mathrm{ht}(a)$ est finie d’après a). c) Toute suite strictement décroissante finie $(p_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ d’idéaux premiers de $A$ définit une chaîne $p_n \subset ... \subset p_0$, d’où $n \leqslant \dim(A_{p_0}) < + \infty$. Il ne peut donc exister de suite strictement décroissante infinie d’idéaux premiers de $A$, d’où c).

Soient $\Phi$ l’ensemble des idéaux premiers minimaux de $A$, et $\Phi'$ l’ensemble des $p \in \Phi$ tels que $\dim(A/p) = \dim(A)$. On sait (II, § 4, no 3, cor. 3 de la prop. 14) que $\Phi$ est fini, donc $\Phi'$ est fini. Soit $a$ un idéal de $A$ tel que $\dim(A/a) < \dim(A)$. Pour tout $p \in \Phi'$, on a $\dim(A/a) < \dim(A/p)$, donc $a \not\subset p$. D’après la prop. 2 de II, § 1, no 1, il existe donc un élément $x$ de $a$ qui n’appartient à aucun des $p \in \Phi'$, et l’on a alors $\dim(A/xA) = \dim(A) - 1$ d’après a). Ceci prouve b).

L’assertion c) est le cas particulier $a = m_A$ de b).

a) Si $M/SM$ est de longueur finie, on a $\mathrm{Card}(S) \geqslant \dim_A(M)$; si $S$ est sécante pour $M$, on a $\mathrm{Card}(S) \leqslant \dim_A(M)$.

b) Toute partie sécante pour $M$ est contenue dans une partie sécante pour $M$ maximale.

c) Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $S$ est une partie sécante pour $M$ maximale ; (ii) $S$ est une partie sécante pour $M$ et $\mathrm{Card}(S) = \dim_A(M)$; (iii) $M/SM$ est de longueur finie et $\mathrm{Card}(S) = \dim_A(M)$; (iv) $S$ est une partie sécante pour $M$ et $M/SM$ est de longueur finie.

Comme on a $S \subset m_A$, le lemme de Nakayama montre que l’on a $M/SM \neq \{0\}$, d’où $\dim_A(M/SM) \geqslant 0$ avec égalité si et seulement si $M/SM$ est de longueur finie. L’assertion a) résulte alors des formules (8) et (9), ainsi que l’équivalence des propriétés (ii), (iii) et (iv).

L’assertion b) résulte du fait que le cardinal de toute partie de $m_A$ sécante pour $M$ est majorée par l’entier $\dim_A(M)$.

D’après a), toute partie sécante pour $M$, de cardinal égal à $\dim_A(M)$, est maximale. Il reste à prouver que, si $S$ est sécante pour $M$ et si $\mathrm{Card}(S) < \dim_A(M)$, alors $S$ n’est pas maximale. Soient $a$ l’annulateur de $M$, et $B$ l’anneau local noethérien $A/(a + SA)$. D’après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1, il existe un élément $x$ de $m_A$ tel que $\dim(B/xB) = \dim(B) - 1$ d’où $x \notin S$. D’après la remarque 2, la partie $S \cup \{x\}$ de $m_A$ est sécante pour $A/a$, donc pour $M$ d’après la remarque 1.

Comme $\varnothing$ est une partie sécante pour $M$, le th. 1, b) démontre l’existence d’une suite sécante pour $M$ maximale, soit $(x_1, ..., x_d)$. Mais alors on a $d = \dim_A(M)$ et le $A$-module $M / \sum_{i=1}^d x_i M$ est de longueur finie d’après la propriété (iii) du th. 1, c). Réciproquement si $(x'_1, ..., x'_{d'})$ est une suite d’éléments de $m_A$ telle que le $A$-module $M / \sum_{j=1}^{d'} x'_j M$ soit de longueur finie, on a $d' \geqslant \dim_A(M)$ d’après le th. 1, a).

Rappelons (III, § 3, no 2, déf. 1) qu’un idéal $q$ d’un anneau local noethérien $A$ est un idéal de définition de $A$ si les topologies $q$-adique et $m_A$-adique de $A$ coïncident.

(i) $q$ est un idéal de définition de $A$; (ii) il existe un entier $n \geqslant 0$ tel que $m_A^n \subset q \subset m_A$;

(iii) on a q ≠ A et A/q est un A-module de longueur finie ; (iv) V(q) est égal à { m_A } (autrement dit, m_A est le seul idéal premier de A contenant q).

En effet, l’équivalence de (i), (ii) et (iv) a été démontrée en III, § 2, n° 5, et l’équivalence de (i) et (iii) résulte de IV, § 2, n° 5, cor. 2 à la prop. 9.

Le corollaire du th. 1 permet donc d’énoncer le scholie suivant :

a) Pour toute partie fermée Y de V contenue dans X', on a

b) On a $\operatorname{codim}(Z, X) \leq m$ pour toute composante irréductible Z de X'. Si X' est non vide, on a $\operatorname{codim}(X', X) \leq m$.

c) Si Z est une partie fermée irréductible de V contenue dans X telle que $\operatorname{codim}(Z, X) \leq m$, il existe des hypersurfaces $H'_1, ..., H'_m$ telles que Z soit une composante irréductible de $X \cap H'_1 \cap ... \cap H'_m$.

Soient α un idéal de A et $x_1, ..., x_m$ des éléments de A tels que $X = V(\alpha)$ et $H_i = V(x_i)$ pour $1 \leq i \leq m$. Soit Z une partie fermée irréductible de V contenue dans X ; il existe un idéal premier p de A contenant α et tel que $Z = V(p)$.

Supposons d’abord que Z soit contenue dans X' et notons $\xi_i$ l’image de $x_i$ dans l’anneau local noethérien $B = A_p/\alpha A_p$. D’après la prop. 7, b) du § 1, n° 3, on a

D’après la prop. 2 du n° 1, on a donc

(11)

Si Z est une composante irréductible de X', on a $\operatorname{codim}(Z, X') = 0$, d’où $\operatorname{codim}(Z, X) \leq m$; ceci prouve b). On prouve a) en prenant dans les deux membres de (11) la borne inférieure sur l’ensemble des composantes irréductibles Z de Y.

1 Rappelons que $V(x)$ se compose des idéaux premiers de A contenant x.

Réciproquement, supposons qu’on ait codim(Z, X) $\leq m$, c’est-à-dire dim(B) $\leq m$. Comme tout élément de $A_p$ est le produit d’un élément inversible de $A_p$ par l’image d’un élément de A, le scholie du n° 2 démontre l’existence d’éléments $x'_1, ..., x'_m$ de A dont les images dans B engendrent un idéal de définition de B. Posons $H'_i = V(x'_i)$ pour $1 \leq i \leq m$. Il est clair que Z est une composante irréductible de $X \cap H'_1 \cap ... \cap H'_m$.

On a codim(H, V) = 1 si et seulement si H ne contient aucune composante irréductible de V. S’il en est ainsi, toutes les composantes irréductibles de H sont de codimension 1 dans V.

Pour toute composante irréductible Z de H, on a

d’après la prop. 4, b), et l’on a codim(Z, V) = 0 si et seulement si Z est une composante irréductible de V. On a par définition

où Z parcourt l’ensemble des composantes irréductibles de H. Le cor. 1 résulte aussitôt de ces remarques.

1) on a $X \subset H$; 2) l’ensemble $X \cap H$ est non vide et chacune de ses composantes irréductibles Z satisfait à $\operatorname{codim}(Z, X) = 1$; 3) l’ensemble $X \cap H$ est vide.

Supposons $X' = X \cap H$ non vide et distinct de X ; toute composante irréductible Z de $X'$ est distincte de X et satisfait à $\operatorname{codim}(Z, X) \leq 1$ d’après la prop. 4, b). Le cor. 2 résulte aussitôt de là.

Soit x un élément extrémal de A. Alors Ax est un idéal premier car x est extrémal, de hauteur 1 car A est intègre (n° 1, prop. 1). Soit p un idéal premier de hauteur 1 de A. Alors $V(p)$ est une composante irréductible d’une hypersurface $V(Ax)$ pour un x convenable (prop. 4, c)). Soit $x = \prod_i y_i^{n_i}$ une décomposition de x en produits d’éléments extrémaux tels que $y_i$ et $y_j$ soient étrangers si $i \neq j$. Les composantes irréductibles de $V(Ax)$ sont les $V(Ay_i)$. Donc $p = Ay_i$ pour un i convenable. La dernière assertion résulte du cor. 2 à la prop. 2 du n° 1.

Quitte à remplacer A par $A/p$, on se ramène au cas où $p = \{0\}$.

D’après le lemme 1 du no 1, on a $q = \bigcup_{r \in E} r$, et la prop. 2 de II, $§ 1$, no 1 montre que E est infini.

Soit $y \neq 0$ un élément de $\bigcap_{r \in E} r$. La hauteur de q est finie (no 1, cor. 1 de la prop. 2), et l’on a $\mathrm{ht}(q) \geq 2$ par hypothèse. Il existe donc un idéal premier $q' \subset q$ de hauteur 2. La première partie de la démonstration appliquée à $q'$ montre que l’ensemble E’ des idéaux premiers de hauteur 1 contenus dans $q'$ est infini ; chacun de ces idéaux contient y par hypothèse. Or l’anneau local noethérien $B = A_{q'}/yA_{q'}$ est de dimension 1 d’après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1. Pour tout $r \in E'$, l’idéal premier $r/yA_{q'}$ de B est donc minimal ; par suite, l’anneau noethérien B a une infinité d’idéaux premiers minimaux, ce qui est absurde (II, $§ 4$, no 3, cor. 3 de la prop. 14). On a donc $\bigcap_{r \in E} r = \{0\}$.

a) A possède une infinité d’idéaux premiers de hauteur h.

b) Si A est de dimension finie, il possède une infinité d’idéaux premiers p tels que $\mathrm{ht}(p) = h$ et $\dim(A/p) = \dim(A) - h$.

Comme la dimension de A est la borne supérieure des hauteurs des idéaux premiers de A ($§ 1$, no 3, prop. 8), que tout idéal premier de A est de hauteur finie (no 1, cor. 1 de la prop. 2) et que $h < \dim(A)$, il existe un entier $n > h$ et un idéal premier p de hauteur n, donc une chaîne $p_0 \subset ... \subset p_n = p$ d’idéaux premiers de longueur n. On a $\mathrm{ht}(p_i) = i$ pour $0 \leq i \leq n$, d’où $\mathrm{ht}(r) = h$ pour tout idéal premier r de A tel que $p_{h-1} \subset r \subset p_{h+1}$ soit une chaîne. L’ensemble E de ces idéaux est infini d’après la prop. 5, d’où a).

Si $A$ est de dimension finie, on peut supposer qu’on a $n = \dim(A)$ dans ce qui précède. Pour tout idéal $r \in E$, on a $\mathrm{ht}(r) = h$, d’où $\dim(A/r) \leq n - h$, et comme $r \subset p_{h+1} \subset ... \subset p_n$ est une chaîne de longueur $n - h$, on a $\dim(A/r) = n - h$.

Il existe des anneaux intègres non noethériens de dimension 2 ne possédant qu’un seul idéal premier de hauteur 1, par exemple l’anneau d’une valuation de hauteur 2 (VI, § 4, no 4, prop. 5).

On peut supposer $M$ et $N$ non nuls. D’après le corollaire du th. 1 (no 2), il existe une partie $S$ (resp. $T$) de $m_A$ (resp. $m_B$) telle que $\mathrm{Card}(S) = \dim_A(M)$ (resp. $\mathrm{Card}(T) = \dim_{\overline{B}}(\overline{N})$) et que $M/SM$ soit un $A$-module de longueur finie (resp. $\overline{N}/T\overline{N}$ soit un $B$-module de longueur finie). On a $\rho(S) \subset m_B$. Soit $E$ le $B$-module $M \otimes_A N$; le $B$-module $E/(\rho(S).E + T.E)$ est isomorphe à $M/SM \otimes_A N/TN$, donc est de longueur finie : d’après les prop. 18 et 19 de II, § 4, no 4, on a

Il en résulte, d’après le th. 1, que l’on a l’inégalité

Supposons maintenant $N$ plat sur $A$, et montrons qu’il y a égalité dans la formule (12). Soit $a$ (resp. $b$) l’annulateur de $M$ (resp. $N$). D’après les prop. 18 et 19 de II, § 4, no 4, on a

On a par suite

et aussi

Posons $A' = A/\alpha$ et $B' = B/(b + \rho(\alpha).B)$ et soit $\rho': A' \to B'$ l’homomorphisme local déduit de $\rho$ par passage aux quotients. Puisque l’annulateur de $N$ est $b$, $N$ est un $B/b$-module de type fini de support égal à $\mathrm{Spec}(B/b)$, et plat sur $A$. L’homomorphisme $A \to B/b$ déduit de $\rho$ possède donc la propriété (PM) du , no 1 (loc. cit., remarque 3); par extension des scalaires (loc. cit., prop. 1, a)), on en déduit que $\rho'$ possède la propriété (PM). D’après loc. cit., prop. 2, on a donc

et comme l’anneau $B'/\rho'(\mathfrak{m}_{A'}).B'$ est isomorphe à $B/(b + \rho(\mathfrak{m}_A).B)$, notre assertion résulte des formules (13), (14) et (15).

a) On a

avec égalité si $\rho$ fait de $B$ un $A$-module plat.

b) Supposons que $\rho$ fasse de $B$ un $A$-module plat, et soit $S$ une partie de $\mathfrak{m}_A$. Alors $S$ est sécante pour $A$ si et seulement si $\rho(S)$ est sécante pour $B$.

L’assertion a) est le cas particulier $M = A, N = B$ de la prop. 7. Prouvons b). Sous les hypothèses faites, on a

avec $\overline{B} = B \otimes_A \kappa_A = B/\rho(\mathfrak{m}_A).B$. Comme $\rho$ est injectif (I, § 3, no 5, prop. 9), on a

Enfin $B' = B/\rho(S).B$ est un module plat sur $A' = A/SA$, d’où

car $B'/\rho(\mathfrak{m}_{A'}).B'$ est isomorphe à $\overline{B}$. Notre assertion résulte aussitôt des formules (17), (18) et (19).

Soient $q$ un idéal premier de $B$ et $p = \rho^{-1}(q)$. D’après le cor. 1, on a $\dim(B_q) \leq \dim(A_p) + \dim(B_q \otimes_A \kappa(p))$. On en déduit (prop. 6, b) du § 1, no 3) l’inégalité $\dim(B_q) \leq \dim(A) + \dim(B \otimes_A \kappa(p))$, et on conclut par la prop. 8 du § 1, no 3.

Posons $B = A[X_1, ..., X_n]$. Pour tout idéal premier $p$ de $A$, l’anneau $B \otimes_A \kappa(p)$ est un anneau de polynômes à $n$ variables sur un corps, donc est de dimension $n$ ($§ 2$, no 4, cor. 1 au th. 3). D’après le cor. 2, on a $\dim(B) \leqslant \dim(A) + n$; l’inégalité inverse résulte de l’exemple 4 du $§ 1$, no 3.