a) Soit h : A → A′ un homomorphisme d’anneaux. Alors l’homomorphisme ρ′ : A′ → A′ ⊗_A B déduit de ρ satisfait à la condition (PM).

b) Soient q un idéal premier de B et p = ρ^{-1}(q). L’homomorphisme canonique ρ_q : A_p → B_q satisfait à la condition (PM).

c) Soient q un idéal premier de B et p = ρ^{-1}(q). Pour tout idéal premier p′ de A contenu dans p, il existe un idéal premier q′ de B au-dessus de p′ et contenu dans q.

Soit N un B-module fidèlement plat sur A et tel que N ⊗_B κ(q) ≠ 0 pour tout idéal premier q de B.

Démontrons a). Le A′-module N′ = A′ ⊗_A N est fidèlement plat (I, § 3, n° 3, prop. 5); soient q′ un idéal premier de B′ = A′ ⊗_A B et q son image réciproque dans B. On a des isomorphismes

comme on a N ⊗_B κ(q) ≠ 0, on a aussi N′ ⊗_{B′} κ(q′) ≠ 0.

Démontrons b). D’après les prop. 13 et 14 de II, § 3, n° 4, le A_p-modulé N_q est plat. D’autre part, soit b′ un idéal premier de B_q ; il est de la forme bB_q où b est un idéal premier de B contenu dans q (II, § 3, n° 1, prop. 3); on a N ⊗_B κ(b) ≠ 0 vu l’hypothèse faite sur N, et comme N_q ⊗_{B_q} κ(b′) est isomorphe à N ⊗_B κ(b′), on a N_q ⊗_{B_q} κ(b′) ≠ 0. La remarque 3 permet de conclure.

Démontrons c). L’homomorphisme local ρ_q : A_p → B_q déduit de ρ satisfait à la condition (PM) d’après b). L’application Spec(B_q) → Spec(A_p) est donc surjective (remarque 2), ce qu’on voulait démontrer.

Soient en effet a un idéal de A tel que F = V(a) et q l’idéal premier de B tel que Y = V(q). L’image réciproque par “ρ de F est la partie V(ρ(a)B) de Spec(B) et l’adhérence de “ρ(Y) est la partie fermée irréductible V(ρ^{-1}(q)) de Spec(A).

Il s’agit de prouver que si q est minimal parmi les idéaux premiers de B contenant $\rho(a)$, alors $\rho^{-1}(q)$ est minimal parmi les idéaux premiers de A contenant a. Dans le cas contraire, il existerait un idéal premier $p'$ de A avec $a \subset p' \subset \rho^{-1}(q)$ et $p' \neq \rho^{-1}(q)$; d’après la prop. 1, c), il existerait un idéal premier $q'$ de B tel que $q' \subset q$ et $p' = \rho^{-1}(q')$, d’où $\rho(a) \subset q' \subset q$ et $q' \neq q$ contrairement à l’hypothèse faite sur q.

(1)

où S est l’ensemble des idéaux maximaux de A.

On sait que l’on a $\dim(A) = \sup_{m \in S} \dim(A_m)$ (§ 1, no 3, prop. 8). Il suffit donc d’établir l’inégalité

(2)

pour tout idéal maximal m de A. Autrement dit, il s’agit de prouver l’inégalité

(3)

si $p_0 \subset ... \subset p_n$ est une chaîne d’idéaux premiers de A contenus dans m et $\overline{q}_0 \subset ... \subset \overline{q}_r$ une chaîne d’idéaux premiers de B/mB. Pour $0 \leq i \leq r$, il existe un idéal premier $q_{n+i}$ de B au-dessus de m tel que $\overline{q}_i = q_{n+i}/mB$, et $q_n \subset ... \subset q_{n+r}$ est une chaîne d’idéaux premiers de B. Posons $p'_i = p_i$ pour $0 \leq i \leq n-1$ et $p'_n = m$, de sorte que $p'_0 \subset ... \subset p'_n$ est une chaîne d’idéaux premiers de A et que $q_n$ est au-dessus de $p'_n$. Si $q_i$ est un idéal premier de B au-dessus de $p'_i$ ($1 \leq i \leq n$), la prop. 1, c) prouve qu’il existe un idéal premier $q_{i-1}$ de B au-dessus de $p'_{i-1}$ et contenu dans $q_i$. Par récurrence descendante, on construit donc une chaîne $q_0 \subset ... \subset q_n$ d’idéaux premiers de B telle que $q_i$ soit au-dessus de $p_i$ pour $0 \leq i \leq n$. Comme $q_0 \subset ... \subset q_{n+r}$ est une chaîne d’idéaux premiers de B, on a prouvé l’inégalité (3).

Soient q un idéal premier de B contenant $\rho(a)B$, et $p = \rho^{-1}(q)$. D’après la prop. 1, l’homomorphisme local $\rho_q : A_p \to B_q$ déduit de $\rho$ satisfait à (PM), et l’on a donc $\dim(A_p) \leq \dim(B_q)$ d’après la prop. 2. D’après la prop. 7 du § 7, no 3, on a $\mathrm{ht}(a) \leq \dim(A_p)$ puisque p contient a, d’où $\mathrm{ht}(a) \leq \dim(B_q)$ pour tout idéal premier q de B contenant $\rho(a)B$. Le corollaire résulte alors de loc. cit.

L’homomorphisme $h$ est composé de l’homomorphisme de passage au quotient de $B$ dans $B/\rho(p)$ $B$ et de l’homomorphisme canonique de $B/\rho(p)$ $B$ dans son anneau de fractions $(\rho(A - p))^{-1}(B/\rho(p) \ B)$. D’après la remarque et le corollaire à la prop. 13 de II, § 4, no 3, $^a h$ induit donc un homéomorphisme de $\mathrm{Spec}(B \otimes_A \kappa(p))$ sur le sous-espace de $\mathrm{Spec}(B)$ formé des idéaux premiers $q$ de $B$ qui contiennent $\rho(p)$ et sont disjoints de $\rho(A - p)$, c’est-à-dire qui sont au-dessus de $p$.

On peut supposer $\dim(A) \neq -\infty$ et $n < +\infty$. Soit $q_0 \subset ... \subset q_m$ une chaîne d’idéaux premiers de $B$; posons $p_i = \rho^{-1}(q_i)$. La suite des $p_i$ est croissante, donc l’ensemble de ses valeurs est de cardinal $\leq \dim(A) + 1$. Pour chaque $p \in \mathrm{Spec}(A)$, l’ensemble des $q_j$ tels que $p_j = p$ est une chaîne de la partie $^a\rho^{-1}(p)$ de $\mathrm{Spec}(B)$, donc est de cardinal inférieur à $\dim(B \otimes_A \kappa(p)) + 1$ (no 1, lemme 1), et par conséquent à $(n + 1)$. Il en résulte que $m + 1 \leq (\dim(A) + 1)(n + 1)$, d’où la proposition.

La première inégalité a déjà été démontrée (§ 1, no 3, exemple 4). Démontrons la seconde. Pour tout idéal premier $p$ de $A$, l’anneau $B \otimes_A \kappa(p)$, isomorphe à $\kappa(p)[X]$, est principal et n’est pas un corps, donc est de dimension 1 (§ 1, no 3, exemple 2), et l’inégalité résulte de la prop. 3.

On déduit en effet du cor. 2, par récurrence sur n, que l’anneau A[T₁, ..., Tₙ] est de dimension finie si A est de dimension finie ; a fortiori, tout quotient non nul de A[T₁, ..., Tₙ] est de dimension finie (§ 1, no 3, prop. 6).

En effet, si q et q’ sont au-dessus d’un même idéal premier p de A, on a dim(B ⊗ₓₐ κ(p)) ≥ 1 d’après le lemme 1 du no 1, ce qui contredit le fait que dim(B ⊗ₓₐ κ(p)) ≤ 0 (§ 1, no 3, exemple 6).

a) Soit M un A-module de type fini. Alors on a dim_B(M ⊗ₓₐ B) ≤ dim_A(M). En particulier, on a dim(B) ≤ dim(A). Si l’application “ρ : Spec(B) → Spec(A) est surjective, par exemple (V, § 2, no 1, th. 1) si ρ est injectif, on a dim_B(M ⊗ₓₐ B) = dim_A(M), et en particulier dim(B) = dim(A).

b) Soient b un idéal de B et a = ρ⁻¹(b) son image réciproque dans A. On a ht(b) ≤ ht(a) et dim(B/b) = dim(A/a). Si “ρ : Spec B → Spec A est surjective, on a ht(aB) ≤ ht(a) pour tout idéal a de A.

c) Supposons B finie sur A et soit N un B-module de type fini. Alors on a dim_B(N) = dim_A(N). En particulier, on a dim(B) = dim_A(B).

Démontrons a). D’après la prop. 5 de V, § 1, no 1, la κ(p)-algèbre B ⊗ₓₐ κ(p) est entière pour tout idéal premier p de A. Soit q₀ ⊂ ... ⊂ qₘ une chaîne d’idéaux premiers de B ; d’après le lemme 2, les idéaux pᵢ = ρ⁻¹(qᵢ) sont deux à deux distincts, donc p₀ ⊂ ... ⊂ pₘ est une chaîne d’idéaux premiers de A, d’où m ≤ dim(A). On a donc dim(B) ≤ dim(A).

Supposons maintenant que l’application “ρ soit surjective. Soit p₀ ⊂ ... ⊂ pₙ une chaîne d’idéaux premiers de A ; il existe donc un idéal premier q₀ de B au-dessus de p₀. D’après le cor. 2 au premier théorème d’existence (V, § 2, no 1, th. 1), on peut construire, par récurrence sur n, une chaîne q₀ ⊂ ... ⊂ qₙ d’idéaux premiers de B telle que qᵢ soit au-dessus de pᵢ pour 0 ≤ i ≤ n. On a donc n ≤ dim(B) et par suite dim(A) ≤ dim(B).

Cela démontre $a$ dans le cas où $M = A$. Dans le cas général, notons $a$ l’annulateur de $M$, de sorte que le support de $M$ s’identifie à $\operatorname{Spec}(A/a)$, et qu’on a $\dim_A(M) = \dim(A/a)$. D’après II, § 4, no 4, prop. 19, le support de $M \otimes_A B$ est l’image réciproque par $^a\rho$ du support de $M$, donc s’identifie à $\operatorname{Spec}(B/\rho(a) B)$, et on a $\dim_B(M \otimes_A B) = \dim(B/\rho(a) B)$. Il reste à remarquer que l’homomorphisme $\rho': A/a \to B/\rho(a) B$ déduit de $\rho$ fait de $B/\rho(a) B$ une $(A/a)$-algèbre entière, et que “$\rho'$ est surjectif lorsque $^a\rho$ l’est.

Démontrons $b$. D’après la prop. 7 du § 1, no 3, il suffit de prouver que $\operatorname{ht}(b) \leq \dim(A_p)$ pour tout idéal premier $p$ de $A$ contenant $a$; soit $p$ un tel idéal. D’après V, § 2, no 1, cor. 2 au th. 1, il existe un idéal premier $q$ de $B$ au-dessus de $p$ et contenant $b$, et on a $\operatorname{ht}(b) \leq \dim(B_q)$ d’après la prop. 7 du § 1, no 3.

Or $B_q$ s’identifie à un anneau de fractions de la $A_p$-algèbre entière $B \otimes_A A_p$, d’où

d’après la prop. 6 du § 1, no 3 et l’assertion $a$ ci-dessus. On a ainsi prouvé l’inégalité $\operatorname{ht}(b) \leq \operatorname{ht}(a)$. Par ailleurs, l’homomorphisme de $A/a$ dans $B/b$ déduit de $\rho$ est injectif et fait de $B/b$ une $(A/a)$-algèbre entière; on a donc $\dim(B/b) = \dim(A/a)$ d’après $a$. Supposons “$\rho$ surjective et soient $a$ un idéal de $A$ et $p$ un idéal premier de $A$ contenant $a$. Il existe par hypothèse un idéal premier $q$ de $B$ au-dessus de $p$. On a $aB \subset q$, d’où $\operatorname{ht}(aB) \leq \operatorname{ht}(q) \leq \operatorname{ht}(p)$ d’après ce qui précède. Passant à la borne inférieure, on obtient $\operatorname{ht}(aB) \leq \operatorname{ht}(a)$.

Enfin, $c$ résulte de $b$ appliqué à l’annulateur $b$ de $N$.

Soit $\rho$ l’application canonique de $A$ dans $B$. Soient $a$ un idéal de $A$. Si $a = A$, la première égalité est claire. Supposons $a \neq A$. Comme $\rho$ est injectif, $^a\rho$ est surjectif (V, § 2, no 1, th. 1). Par suite $aB \neq B$. Soit alors $q$ un idéal premier de $B$ contenant $aB$. Posons $p = q \cap A$. On a $a \subset p$, d’où $\operatorname{ht}(a) \leq \operatorname{ht}(p)$. Soit $p_0 \subset ... \subset p_n$ une chaîne d’idéaux premiers de $A$ avec $p_n = p$. D’après le deuxième théorème d’existence (V, § 2, no 4, th. 3), on construit par récurrence une chaîne $q_0 \subset ... \subset q_n$ d’idéaux premiers de $B$ telle que $q_n = q$ et $q_i$ soit au-dessus de $p_i$ pour $0 \leq i \leq n$. On a $n \leq \operatorname{ht}(q)$, d’où $\operatorname{ht}(a) \leq \operatorname{ht}(q)$. En passant à la borne inférieure on obtient $\operatorname{ht}(a) \leq \operatorname{ht}(aB)$ ($§ 1$, no 3, prop. 7). L’inégalité $\operatorname{ht}(aB) \leq \operatorname{ht}(a)$ résulte du th. 1, d’où la première égalité. Soit $b$ un idéal de $B$. Posons $a = \rho^{-1}(b)$. On a $aB \subset b$, d’où $\operatorname{ht}(a) = \operatorname{ht}(aB) \leq \operatorname{ht}(b)$. L’inégalité $\operatorname{ht}(b) \leq \operatorname{ht}(a)$ résulte du th. 1, d’où le théorème.

D’après le lemme de normalisation (V, § 3, no 1, th. 1), il existe un entier $n \geq 0$, une suite finie $(x_1, ..., x_n)$ d’éléments de $A$ algébriquement libre et une suite croissante $(h(j))_{0 \leq j \leq m}$ d’entiers $\leq n$ telle que l’idéal $p_j \cap B$ soit égal à l’idéal premier $q_j$ de $B$ engendré par les $x_k$ avec $1 \leq k \leq h(j)$, et que $A$ soit entier sur l’anneau $B$. Soit $j$ un entier tel que $0 \leq j < m$. Par passage aux quotients, on déduit de l’injection canonique de $B$ dans $A$ un homomorphisme injectif de $B/q_j$ dans $A/p_j$ qui fait de $A/p_j$ une $(B/q_j)$-algèbre finie. Comme l’anneau $B/q_j$ est isomorphe à une algèbre de polynômes en $n - h(j)$ indéterminées sur $k$, il est intégralement clos (V, § 1, no 3, cor. 3 de la prop. 13). D’après le th. 2 du no 3, on a donc

Il en résulte que l’on a $h(j+1) \leq h(j) + 1$ et $q_{j+1} \neq q_j$, d’où $h(j+1) = h(j) + 1$. Mais on a $h(m) = n$ puisque $q_m$ est maximal (V, § 2, no 1, prop. 1), d’où finalement $h(j) = n - m + j$.

Supposons $A$ intègre et considérons une chaîne maximale $p_0 \subset ... \subset p_m$ d’idéaux premiers de $A$. On a $p_0 = 0$. On déduit alors du lemme 3 l’existence d’un homomorphisme injectif $\varphi : k[X_1, ..., X_m] \to A$ de $k$-algèbres qui fait de $A$ une $k[X_1, ..., X_m]$-algèbre finie. Par suite, le degré de transcendance sur $k$ du corps des fractions de $A$ est égal à $m$, d’où c). L’assertion a) résulte de l’assertion c) appliquée à l’anneau $A/p$ et l’assertion b) est une conséquence immédiate de a) et de la prop. 5 du § 1, no 2.

Pour qu’une k-algèbre A de type fini soit de dimension n, il faut et il suffit qu’il existe un k-homomorphisme injectif $\varphi : k[X_1, ..., X_n] \to A$ faisant de A une algèbre finie sur $k[X_1, ..., X_n]$.

Cela résulte du th. 3, du lemme de normalisation (V, § 3, no 1, th. 1) et du th. 1, a) du no 3.

En particulier, on a $\operatorname{ht}(m) = \dim(A_m) = \dim(A)$ pour tout idéal maximal m de A.

Cela résulte du th. 3 et de la remarque 4 du § 1, no 3.

L’application $p \mapsto pA_f$ est une bijection de l’ensemble des idéaux premiers minimaux de A sur l’ensemble des idéaux premiers minimaux de $A_f$. Par ailleurs les anneaux $A/p$ et $A_f/pA_f = (A/p)_f$ ont même corps des fractions. Il suffit donc d’appliquer le th. 3, b).

a) Pour que p soit maximal, il faut et il suffit que le corps des fractions de $A/p$ soit une extension finie de k.

b) Soit $f \in A - p$; l’idéal p est un idéal maximal de A si et seulement si $pA_f$ est un idéal maximal de $A_f$.

Si p est un idéal maximal de A, alors $A/p$ est un corps, donc un anneau de dimension 0 ; c’est une extension de type fini de k dont le degré de transcendance est 0 (th. 3, c)), c’est donc une extension finie de k. Réciproquement, si le corps des fractions de $A/p$ est une extension finie de k, on a $\dim(A/p) = 0$ donc p est maximal. L’assertion b) résulte de l’assertion a) compte tenu que $A/p$ et $A_f/pA_f$ ont même corps des fractions.

L’assertion a) du cor. 4 est une forme du théorème des zéros (V, § 3, no 3, prop. 1).

On a $\dim_p(A) = \sup_{i \in I} \dim_{p/p_i}(A/p_i)$ (§ 1, n° 3, prop. 6). Mais, d’après le cor. 3, on a $\dim_{p/p_i}(A/p_i) = \dim(A/p_i)$, d’où la première égalité. D’après le cor. 2, on a $\dim(A/p_i) = \dim((A/p_i)_p) + \dim(A/p)$. La deuxième égalité du corollaire résulte donc du fait que $\dim(A_p) = \sup_{i \in I} \dim((A/p_i)_p)$ et la troisième du th. 3.

Ainsi $\dim_p(A)$ est la borne supérieure des longueurs des chaînes d’idéaux premiers de $A$ dont $p$ est un élément.

a) Pour tout $p \in \operatorname{Ass}(A)$, on a $\dim(A/p) = n$.

b) Tout idéal premier associé à A est minimal et toutes les composantes irréductibles de Spec(A) sont de dimension n.

c) Il existe un k-homomorphisme injectif $\varphi : k[X_1, ..., X_n] \to A$ faisant de A un $k[X_1, ..., X_n]$-module de type fini sans torsion.

L’équivalence de a) et b) est immédiate. Montrons que a) implique c). D’après b), l’anneau A est dimension n et il existe donc (cor. 1) un k-homomorphisme injectif $\varphi : k[X_1, ..., X_n] \to A$ faisant de A un $k[X_1, ..., X_n]$-module de type fini. Pour tout idéal premier $p \in \operatorname{Ass}(A)$, l’anneau $A/p$ est alors entier sur $k[X_1, ..., X_n]$, et on a donc $n = \dim(A/p) = \dim(k[X_1, ..., X_n]/\varphi^{-1}(p))$ d’après le th. 1, a) du n° 3, d’où $\varphi^{-1}(p) = 0$. L’image par l’homomorphisme injectif $\varphi$ d’un élément non nul de $k[X_1, ..., X_n]$ n’est pas un diviseur de 0 dans A (IV, § 1, n° 1, cor. 3 à la prop. 2), d’où c).

Inversement, supposons la condition c) satisfaite. Pour tout idéal premier $p \in \operatorname{Ass}(A)$, l’homomorphisme $k[X_1, ..., X_n] \to A/p$ déduit de $\varphi$ est injectif (loc. cit.). On a donc $\dim(A/p) = n$ d’après le cor. 1.

Supposons d’abord B intègre. L’algèbre $B \otimes_A K$ est alors un anneau de fractions de B défini par une partie multiplicative ne contenant pas 0. Elle a donc pour corps des fractions le corps des fractions L de B. D’après le th. 3, on a

Or on a, d’après le corollaire de A, V, p. 106

d’où le résultat dans ce cas.

Passons au cas général. Tout idéal premier minimal $p$ de $B$ est formé de diviseurs de zéro dans $B$, donc est au-dessus de l’idéal 0 de $A$. Il en résulte que l’application $p \mapsto p . (B \otimes_A K)$ est une bijection de l’ensemble des idéaux premiers minimaux de $B$ sur l’ensemble des idéaux premiers minimaux de $B \otimes_A K$. La proposition résulte donc de la première partie de la démonstration et de la prop. 6, c) du § 1, no 3.

En effet, soit $p$ un idéal premier minimal de $A$ tel que $\dim(A) = \dim(A/p)$. Il existe un idéal premier $q$ de $B$ au-dessus de $p$ (II, § 2, no 6, prop. 16). D’après la prop. 4 appliquée à $A/p$ et $B/q$, on a $\dim(A) = \dim(A/p) \leq \dim(B/q) \leq \dim(B)$, d’où le corollaire.

*Lemme 4. — Soient $A$ et $B$ deux k-algèbres intègres, $M$ un $A$-module sans torsion, $N$ un $B$-module sans torsion. Si l’anneau $A \otimes_k B$ est intègre, alors $M \otimes_k N$ est un module sans torsion sur $A \otimes_k B$.

Soit $K$ (resp. $L$) le corps des fractions de $A$ (resp. $B$). Il existe un ensemble $I$ (resp. $J$) tel que $M$ (resp. $N$) soit isomorphe à un sous-module de $K^{(I)}$ (resp. $L^{(J)}$). Le $(A \otimes_k B)$-module $M \otimes_k N$ est alors isomorphe à un sous-module de $K^{(I)} \otimes_k L^{(J)}$, qui est isomorphe à $(K \otimes_k L)^{(I \times J)}$. Comme $K \otimes_k L$ est un anneau de fractions de l’anneau intègre $A \otimes_k B$, c’est un module sans torsion sur $A \otimes_k B$, d’où le lemme.

*PROPOSITION 5. — Soient $k'$ une extension de $k$, $A$ une k-algèbre de type fini et $B$ une $k'$-algèbre de type fini.

a) La $k'$-algèbre $A \otimes_k B$ est de type fini et on a

b) Soit $r$ un idéal premier de $A \otimes_k B$; notons $p$ (resp. $q$) l’image réciproque de $r$ dans $A$ (resp. $B$). On a

Posons $n = \dim(A)$ et $m = \dim(B)$. Il existe d’après le cor. 1 au th. 3 des homomorphismes injectifs d’algèbres $\varphi : k[X_1, ..., X_n] \to A$ et $\psi : k'[Y_1, ..., Y_m] \to B$ faisant respectivement de $A$ et $B$ des algèbres finies sur $k[X_1, ..., X_n]$ et $k'[Y_1, ..., Y_m]$. L’homomorphisme $\varphi \otimes \psi$ est alors injectif et fait de $A \otimes_k B$ une algèbre finie sur la $k'$-algèbre $k[X_1, ..., X_n] \otimes_k k'[Y_1, ..., Y_m]$ qui s’identifie à $k'[X_1, ..., X_n, Y_1, ..., Y_m]$. On a donc $\dim(A \otimes_k B) = n + m$ d’après le cor. 1 au th. 3, ce qui prouve a).

Remarquons que lorsque $A$ et $B$ sont intègres, $A \otimes_k B$ est un $k'[X_1, ..., X_n, Y_1, ..., Y_m]$-module sans torsion d’après le lemme 4 et qu’on a donc

pour tout idéal premier $r$ de $A \otimes_k B$ d’après la remarque 1.

Prouvons maintenant b). Soit $r_0$ un idéal premier minimal de $A \otimes_k B$ contenu dans $r$, et notons $p_0$ (resp. $q_0$) l’image réciproque de $r_0$ dans $A$ (resp. $B$). L’anneau

(A \otimes_k B)/r_0 est isomorphe à un quotient de l’anneau (A/p_0) \otimes_k (B/q_0). On a donc, d’après $a$,

Appliquant le cor. 5 au th. 3, on en déduit l’inégalité

Inversement, soit $p_0$ (resp. $q_0$) un idéal premier minimal de A (resp. B) contenu dans $p$ (resp. q). D’après la remarque faite ci-dessus, on a

où $\overline{r}$ est l’image de r par la surjection canonique $A \otimes_k B \to (A/p_0) \otimes_k (B/q_0)$. Le second membre de l’égalité précédente est évidemment inférieur à $\dim_r(A \otimes_k B)$. Appliquant le cor. 5 au th. 3, on en déduit l’inégalité

ce qui achève la démonstration.

a) On a $\dim(A') = \dim(A)$.

b) Soient p' un idéal premier de A' et p son image réciproque dans A ; on a $\dim_{p'}(A') = \dim_p(A)$.

c) Soient p' un idéal premier minimal de A' et p son image réciproque dans A. Alors p est minimal et l’on a $\dim(A'/p') = \dim(A/p)$.

Les assertions a) et b) se déduisent de la prop. 5 en y prenant $B = k'$. Démontrons c). L’idéal p est minimal (n° 1, prop. 1) et l’on a