Démontrons a). Si Z est une partie fermée irréductible de Y, son adhérence $\overline{Z}$ dans X est irréductible (II, § 4, n° 1, prop. 2) et l’on a $\overline{Z} \cap Y = Z$. Ainsi, toute chaîne c de parties fermées irréductibles de Y définit, par passage à l’adhérence dans X, une chaîne de parties fermées irréductibles de X, de même longueur que c. L’inégalité $\dim(Y) \leq \dim(X)$ résulte de cela. Si U est une partie ouverte de X contenant un point y de Y, on a donc $\dim(U \cap Y) \leq \dim(U)$, d’où $\dim_y(Y) \leq \dim_y(X)$. Démontrons b). On a par définition $\dim_x(X) \leq \dim_x(V)$, et l’inégalité opposée résulte de a). Démontrons c). Soit $Z_0 \subset \ldots \subset Z_n$ une chaîne de parties fermées irréductibles de X. On a $Z_n = \bigcup_{i \in I} (Z_n \cap X_i)$ et chacun des ensembles $Z_n \cap X_i$ est fermé dans $Z_n$;

comme I est fini, $Z_n$ est contenu dans l’un des $X_i$. Par suite, on a $\dim(X) \leq \sup_{i} \dim(X_i)$, d’où l’égalité d’après a).

Soient maintenant $x$ un point de $X$ et $n = \sup_{i \in J_x} \dim_x(X_i)$, où $J_x$ est comme dans l’énoncé. On a $\dim_x(X) \geq n$ d’après a), et, pour établir l’égalité, on peut supposer $n$ fini. Pour tout $i \in J_x$, soit $U_i$ un voisinage ouvert de $x$ dans $X$, tel que $\dim(U_i \cap X_i) \leq n$. Posons $U = (\bigcap_{i \in J_x} U_i) \cap (\bigcap_{i \in I - J_x} \mathscr{C} X_i)$; l’ensemble $U$ est ouvert dans $X$. De plus, on a $\dim(U) = \sup_{i \in J_x} \dim(U \cap X_i) \leq n$ d’après l’alinéa précédent, donc $\dim_x(X) \leq n$.

b) Soit $x$ un point de $X$. On a $\dim_x(X) \geq \sup \dim_x(X_i)$, où $X_i$ parcourt la famille des composantes irréductibles de $X$ qui contiennent $x$; il y a égalité si $x$ possède un voisinage $V$ qui n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles (ce qui est le cas par exemple si $V$ est noethérien).

La première assertion est immédiate puisque les chaînes de parties fermées irréductibles de $X$ sont les chaînes de parties fermées irréductibles des composantes irréductibles de $X$ (II, § 4, no 1, prop. 5). L’inégalité $\dim_x(X) \geq \sup_{i} \dim_x(X_i)$ résulte de la prop. 1, a). Soit $V$ un voisinage de $x$ qui ne possède qu’un nombre fini de composantes irréductibles, et soit $(V_j)_{j \in J}$ la famille des composantes irréductibles de $V$ qui contiennent $x$. Il résulte de la prop. 1, b) et c) qu’on a

on conclut en remarquant que chacun des $V_j$ est contenu dans l’un des $X_i$, $i \in J_x$, et qu’on a par conséquent $\sup_{j \in J} \dim_x(V_j) \leq \sup_{i \in J_x} \dim_x(X_i)$.

En effet, on a par définition $\dim(X) \geq \dim_x(X)$ pour tout $x \in X$. D’autre part, si $Z_0 \subset ... \subset Z_n$ est une chaîne de parties fermées irréductibles de $X$, pour tout $x \in Z_0$ et tout voisinage ouvert $U$ de $x$, les ensembles $Z_0 \cap U, ..., Z_n \cap U$ constituent une chaîne de parties fermées irréductibles de $U$ (II, § 4, no 1, prop. 7). On a donc $\dim_x(X) \geq n$, d’où $\dim(X) \leq \sup_{x \in X} \dim_x(X)$.

Il suffit de démontrer que, pour tout point $x$ de $X$, on a $\dim_x(X) = \sup_{\alpha \in A_x} \dim_x(X_\alpha)$, où $A_x$ est l’ensemble des $\alpha \in A$ tels que $x \in X_\alpha$. Ceci est clair dans le cas d’un recouvrement ouvert, et résulte de la prop. 1, c), dans le cas d’un recouvrement fermé localement fini.

a) Pour toute partie fermée non vide Y de X, on a

b) Si Y, Z, T sont des parties fermées de X telles que $Y \subset Z \subset T$, on a

Il suffit de démontrer l’assertion a) dans le cas où $\dim(X)$ est fini. Dans ce cas, $\dim(Y)$ et $\operatorname{codim}(Y, X)$ sont finis. Il existe une chaîne $Y_0 \subset ... \subset Y_n$ de parties fermées irréductibles de $Y$, de longueur $n = \dim(Y)$ et une chaîne $Y_n \subset ... \subset Y_{n+p}$ de parties fermées irréductibles de $X$, de longueur $p \geq \operatorname{codim}(Y, X)$. On en déduit que $\dim(X) \geq n + p$, d’où a). Pour établir b), on peut supposer $Y$ irréductible. Comme on a $\operatorname{codim}(Y, Z) \leq \operatorname{codim}(Y, T)$, l’inégalité est démontrée si $\operatorname{codim}(Y, Z) = +\infty$. Sinon, soit $Z_0$ une composante irréductible de $Z$ contenant $Y$ et telle que $\operatorname{codim}(Y, Z) = \operatorname{codim}(Y, Z_0)$. On a $\operatorname{codim}(Z, T) \leq \operatorname{codim}(Z_0, T)$, et on voit, comme ci-dessus, que $\operatorname{codim}(Y, Z_0) + \operatorname{codim}(Z_0, T) \leq \operatorname{codim}(Y, T)$, d’où b).

Supposons $X$ caténaire. Compte tenu de la prop. 3, b), il suffit de démontrer la relation lorsque $\operatorname{codim}(Y, Z)$ et $\operatorname{codim}(Z, T)$ sont finis. En mettant bout à bout une chaîne saturée de parties fermées irréductibles d’extrémités $Y$ et $Z$, de longueur $\operatorname{codim}(Y, Z)$, et une chaîne saturée de parties fermées irréductibles d’extrémités $Z$ et $T$, de longueur $\operatorname{codim}(Z, T)$, on obtient une chaîne saturée d’extrémités $Y$ et $T$, de longueur $\operatorname{codim}(Y, Z) + \operatorname{codim}(Z, T)$. Mais, comme $X$ est caténaire, cette longueur est nécessairement égale à $\operatorname{codim}(Y, T)$.

Réciproquement, supposons que l’on ait $\operatorname{codim}(Y, T) = \operatorname{codim}(Y, Z) + \operatorname{codim}(Z, T)$ quelles que soient les parties fermées irréductibles $Y, Z, T$ de $X$ telles que $Y \subset Z \subset T$, et démontrons que $X$ est caténaire. Pour cela, démontrons par récurrence sur l’entier $n \geq 0$ que, pour toute chaîne saturée $Z_0 \subset ... \subset Z_n$ de parties fermées irréductibles de $X$, on a $\operatorname{codim}(Z_0, Z_n) = n$. Si $n = 0$, c’est clair. Soit $n > 0$, et supposons la propriété satisfaite pour les chaînes de longueur $\leq n - 1$. Si $Z_0 \subset ... \subset Z_n$ est une chaîne saturée de longueur $n$, alors $Z_0 \subset ... \subset Z_{n-1}$ est une chaîne saturée de longueur $n - 1$, donc $\operatorname{codim}(Z_0, Z_{n-1}) = n - 1$. Vu l’hypothèse faite sur $X$, on a $\operatorname{codim}(Z_0, Z_n) = \operatorname{codim}(Z_0, Z_{n-1}) + \operatorname{codim}(Z_{n-1}, Z_n) = (n - 1) + 1 = n$.

La condition est nécessaire d’après la prop. 4. Inversement, supposons-la vérifiée, et notons c(Z) l’entier codim(Z, X) pour toute partie fermée irréductible Z de X. Si Y, Z, T sont trois parties fermées irréductibles de X telles que Y ⊂ Z ⊂ T, on a

et X est caténaire d’après la prop. 4.

Soient Y et Z deux parties fermées irréductibles de X telles que Y ⊂ Z. Soient Y_0 ⊂ ... ⊂ Y_p une chaîne telle que Y_p = Y et p = \dim(Y), Z_0 ⊂ ... ⊂ Z_q une chaîne telle que Z_0 = Z et q = \operatorname{codim}(Z, X). Pour toute chaîne saturée T_0 ⊂ ... ⊂ T_r telle que T_0 = Y et T_r = Z, la chaîne

est maximale, et de longueur p + q + r ; d’après l’hypothèse faite sur X, on a donc p + q + r = \dim(X), soit r = \dim(X) - \dim(Y) - \operatorname{codim}(Z, X). Il en résulte que X est caténaire et que, pour Y et Z comme ci-dessus, on a Prenant Y = Z, on voit que le second membre est égal à \dim(Z), d’où la proposition.

D’après la remarque de II, § 4, n° 3, si a est un idéal de A, l’espace topologique Spec(A/a) est homéomorphe au sous-espace fermé V(a) de Spec(A). L’assertion a) résulte de cela et de la prop. 1, a) du n° 1. L’assertion b) résulte de loc. cit., corollaire à la prop. 13. D’après loc. cit., cor. 2 à la prop. 14, les composantes irréductibles de Spec(A) sont homéomorphes aux espaces Spec(A/p), où p est un idéal premier minimal de A, et l’assertion c) résulte du corollaire de la prop. 1 du n° 1. Sous l’hypothèse de d ), l’espace Spec(A) n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles ; les composantes irréductibles de Spec(A) contenant p sont les ensembles V(q), où q est un idéal premier minimal contenu dans p. L’assertion d) résulte alors du cor., b) de la prop. 1 du n° 1.

Démontrons enfin e). Il s’agit de prouver que, pour toute chaîne $p_0 \subset ... \subset p_n$ d’idéaux premiers de A telle que $a \subset p_0$, on a dim(A) $\geq n + 1$. Vu l’hypothèse faite sur a, il existe un idéal premier $p_{-1}$ de A contenu dans $p_0$, distinct de $p_0$, et $p_{-1} \subset p_0 \subset ... \subset p_n$ est une chaîne d’idéaux premiers de A, de longueur $n + 1$.

b) Soient p un idéal premier de A et a un idéal de A. Alors on a $\dim(A_p/aA_p) = -\infty$ si a n’est pas contenu dans p et $\dim(A_p/aA_p) = \operatorname{codim}(V(p), V(a))$ si a est contenu dans p. En particulier, si p est un idéal premier de A, on a $\dim(A_p) = \operatorname{ht}(p)$.

c) Si a est un idéal de A, on a $\operatorname{ht}(a) = \inf_{p} \operatorname{ht}(p) = \inf_{p} \dim(A_p)$ où p parcourt l’ensemble des idéaux premiers de A contenant a.

L’assertion a) est la traduction de la déf. 3, a) du n° 2. L’assertion b) résulte du fait que l’application $q \mapsto q(A_p/aA_p)$ est un isomorphisme croissant de l’ensemble des idéaux premiers q de A tels que $a \subset q \subset p$ sur l’ensemble des idéaux premiers de l’anneau local $A_p/aA_p$ (II, § 2, n° 5, prop. 11). Soit a un idéal de A ; les parties fermées irréductibles de $V(a)$ sont les ensembles $V(p)$, où p est un idéal premier de A contenant a. L’assertion c) résulte donc de la remarque 1 du n° 2.

Cela résulte de la prop. 7, a), et de II, § 2, n° 5, prop. 11.

a) On a $\dim(A) = \sup_m \dim(A_m) = \sup_m \operatorname{ht}(m)$, où m parcourt l’ensemble des idéaux maximaux (resp. premiers) de A.

b) Soient b un idéal de A distinct de A et a un idéal de A contenu dans b. Alors on a $\operatorname{codim}(V(b), V(a)) + \dim(A/b) \leq \dim(A/a)$. En particulier, pour tout idéal b de A distinct de A, on a l’inégalité $\operatorname{ht}(b) + \dim(A/b) \leq \dim(A)$.

La première assertion résulte de la remarque 2 du n° 2 et de la prop. 7, b). La seconde résulte de la prop. 3, a) du n° 2 et des relations $\dim(A/b) = \dim(V(b))$, $\dim(A/a) = \dim(V(a))$.

a) Pour tout $p \in \mathrm{Supp}(M)$, on a $\dim_{A_p}(M_p) = \mathrm{codim}(V(p), \mathrm{Supp}(M))$.

b) $\dim_A(M)$ est la borne supérieure des $\dim_{A_p}(M_p)$, où $p$ parcourt $\mathrm{Spec}(A)$ (resp. où $p$ parcourt l’ensemble des idéaux maximaux de $A$ appartenant à $\mathrm{Supp}(M)$).

c) Soit $M'$ un sous-module de type fini de $M$; alors

a) Soit $a$ l’annulateur de $M$; alors l’annulateur du $A_p$-module $M_p$ est $aA_p$ (II, § 2, n° 4, formule (9)), d’où $\dim_{A_p}(M_p) = \dim(A_p/aA_p)$. On conclut par la prop. 7, b) du n° 3.

b) Cela résulte aussitôt de a) et du fait que $\dim_{A_p}(M_p) = -\infty$ si $p$ n’appartient pas à $\mathrm{Supp}(M)$.

c) On a $\mathrm{Supp}(M) = \mathrm{Supp}(M') \cup \mathrm{Supp}(M/M')$ (II, § 4, n° 4, prop. 16), et on applique la prop. 1 du n° 1.

Pour que $M$ soit de type $C_{\leq d}$, c’est-à-dire de dimension $\leq d$, il faut et il suffit que pour tout idéal premier minimal $p$ de $\mathrm{Supp}(M)$, on ait $\dim(A/p) \leq d$, ce qui signifie que $z(M) \in Z_{\leq d}$. Supposons qu’on ait $\dim(M) \leq d$, et soit $p \in \mathrm{Spec}(A)$ tel que $\dim(A/p) = d$; alors, ou bien $p \notin \mathrm{Supp}(M)$ et donc $M_p = 0$, ou bien $p \in \mathrm{Supp}(M)$, et $p$ est un élément minimal de $\mathrm{Supp}(M)$; le coefficient de $[V(p)]$ dans $z(M)$ est dans les deux cas $\mathrm{long}_{A_p}(M_p)$, d’où a). La partie b) se démontre de façon analogue ; on notera qu’un module $M$ de type fini est de type $C^{>d}$ si et seulement si l’on a $M_p = 0$ pour tout idéal premier $p$ de hauteur $< d$.

D’après la prop. 9, c) et la remarque 3 du n° 4, les ensembles $C_{\leq d}$ et $C^{>d}$ sont héréditaires (A, VIII, § 10, n° 1, déf. 1), et l’on peut considérer les groupes de Grothendieck $K(C_{\leq d})$ et $K(C^{>d})$ correspondants (loc. cit., n° 2); pour tout $A$-module $M$ de type $C_{\leq d}$ (resp. $C^{>d}$), notons $[M]_{\leq d}$ (resp. $[M]^{>d}$) l’élément associé dans $K(C_{\leq d})$ (resp. $K(C^{>d})$). D’après le lemme 1, les fonctions $z_d$ et $z^d$ sont additives ; il existe donc (loc. cit., prop. 3) des homomorphismes

tels que $\zeta_d([M]_{\leq d}) = z_d(M)$ pour tout $A$-module $M$ de type $C_{\leq d}$ et $\zeta^d([N]^{>d}) = z^d(N)$ pour tout $A$-module $N$ de type $C^{>d}$. Par ailleurs, puisque $C_{\leq d-1} \subset C_{\leq d}$ et $C^{>d+1} \subset C^{>d}$, on a des homomorphismes canoniques Avec ces notations :

On a $\zeta_d \circ i_d = 0$ d’après le lemme 1. Pour tout $p \in \mathrm{Spec}(A)$ tel que $\dim(A/p) = d$, on a $\zeta_d([A/p]_{\leq d}) = z_d(A/p) = [V(p)]$, donc l’homomorphisme $\zeta_d$ est surjectif. D’après IV, § 1, no 4, th. 1, $K(\mathscr{C}_{\leq d})$ est engendré par les $[A/p]_{\leq d}$, où $p \in \mathrm{Spec}(A)$ et $\dim(A/p) \leq d$; par conséquent, tout élément $\xi$ de $K(\mathscr{C}_{\leq d})$ peut s’écrire $\xi = i_d(\eta) + \sum_{i=1}^k n_i[A/p_i]_{\leq d}$, avec $\eta \in K(\mathscr{C}_{\leq d-1})$, $n_i \in \mathbf{Z}$ et $\dim(A/p_i) = d$ pour $1 \leq i \leq k$; on a $\zeta_d(\xi) = \sum_{i=1}^k n_i[V(p_i)]$ et par conséquent $\zeta_d(\xi) = 0$ implique $\xi = i_d(\eta) \in \mathrm{Im}(i_d)$, d’où $\mathrm{Ker}(\zeta_d) = \mathrm{Im}(i_d)$.

On raisonne de même pour la seconde suite.