Hãy chứng minh a). Nếu Z là một tập con đóng bất khả quy của Y, thì bao đóng $\overline{Z}$ của nó trong X là bất khả quy (II, § 4, No. 1, Prop. 2), và ta có $\overline{Z} \cap Y = Z$. Do đó mỗi xích c của các tập con đóng bất khả quy của Y xác định, bằng cách chuyển qua bao đóng trong X, một xích các tập con đóng bất khả quy của X, có cùng độ dài như c. Bất đẳng thức $\dim(Y) \leq \dim(X)$ suy ra từ đó. Nếu U là một tập con mở của X chứa một điểm y của Y, thì do đó $\dim(U \cap Y) \leq \dim(U)$, do đó $\dim_y(Y) \leq \dim_y(X)$. Hãy chứng minh b). Theo định nghĩa ta có $\dim_x(X) \leq \dim_x(V)$, và bất đẳng thức ngược lại suy ra từ a). Hãy chứng minh c). Cho $Z_0 \subset \ldots \subset Z_n$ là một xích các tập con đóng bất khả quy của X. Ta có $Z_n = \bigcup_{i \in I} (Z_n \cap X_i)$ và mỗi tập hợp $Z_n \cap X_i$ đều đóng trong $Z_n$;

vì I là hữu hạn, $Z_n$ được chứa trong một trong các $X_i$. Do đó, ta có $\dim(X) \leq \sup_{i} \dim(X_i)$, do đó có đẳng thức theo a).

Bây giờ cho $x$ là một điểm của $X$ và $n = \sup_{i \in J_x} \dim_x(X_i)$, trong đó $J_x$ như trong mệnh đề. Ta có $\dim_x(X) \geq n$ theo a), và, để thiết lập đẳng thức, có thể giả sử $n$ hữu hạn. Với mọi $i \in J_x$, cho $U_i$ là một lân cận mở của $x$ trong $X$, sao cho $\dim(U_i \cap X_i) \leq n$. Đặt $U = (\bigcap_{i \in J_x} U_i) \cap (\bigcap_{i \in I - J_x} \mathscr{C} X_i)$; tập hợp $U$ là mở trong $X$. Hơn nữa, ta có $\dim(U) = \sup_{i \in J_x} \dim(U \cap X_i) \leq n$ theo đoạn trước, nên $\dim_x(X) \leq n$.

b) Cho $x$ là một điểm của $X$. Khi đó $\dim_x(X) \geq \sup \dim_x(X_i)$, trong đó $X_i$ chạy qua họ các thành phần bất khả quy của $X$ chứa $x$; có đẳng thức nếu $x$ có một lân cận $V$ chỉ có một số hữu hạn thành phần bất khả quy (chẳng hạn đó là trường hợp khi $V$ là Noether).

Mệnh đề thứ nhất là ngay lập tức vì các chuỗi tập con đóng bất khả quy của $X$ chính là các chuỗi tập con đóng bất khả quy của các thành phần bất khả quy của $X$ (II, § 4, No. 1, Prop. 5). Bất đẳng thức $\dim_x(X) \geq \sup_{i} \dim_x(X_i)$ suy ra từ Mệnh đề 1, a). Cho $V$ là một lân cận của $x$ chỉ có một số hữu hạn thành phần bất khả quy, và gọi $(V_j)_{j \in J}$ là họ các thành phần bất khả quy của $V$ chứa $x$. Từ Mệnh đề 1, b) và c) suy ra rằng ta có

Thật vậy, theo định nghĩa ta có $\dim(X) \geq \dim_x(X)$ với mọi $x \in X$. Mặt khác, nếu $Z_0 \subset ... \subset Z_n$ là một chuỗi tập con đóng bất khả quy của $X$, thì với mọi $x \in Z_0$ và mọi lân cận mở $U$ của $x$, các tập hợp $Z_0 \cap U, ..., Z_n \cap U$ tạo thành một chuỗi tập con đóng bất khả quy của $U$ (II, § 4, No. 1, Prop. 7). Do đó $\dim_x(X) \geq n$, suy ra $\dim(X) \leq \sup_{x \in X} \dim_x(X)$.

Chỉ cần chứng minh rằng, với mọi điểm $x$ của $X$, ta có $\dim_x(X) = \sup_{\alpha \in A_x} \dim_x(X_\alpha)$, trong đó $A_x$ là tập hợp các $\alpha \in A$ sao cho $x \in X_\alpha$. Điều này là hiển nhiên trong trường hợp một phủ mở, và suy ra từ Mệnh đề 1, c), trong trường hợp một phủ đóng hữu hạn địa phương.

a) Với mọi tập con đóng khác rỗng $Y$ của $X$, ta có

b) Nếu $Y, Z, T$ là các tập con đóng của $X$ sao cho $Y \subset Z \subset T$, ta có

Chỉ cần chứng minh mệnh đề a) trong trường hợp $\dim(X)$ là hữu hạn. Trong trường hợp này, $\dim(Y)$ và $\operatorname{codim}(Y, X)$ là hữu hạn. Tồn tại một chuỗi $Y_0 \subset ... \subset Y_n$ các tập con đóng bất khả quy của $Y$, có độ dài $n = \dim(Y)$, và một chuỗi $Y_n \subset ... \subset Y_{n+p}$ các tập con đóng bất khả quy của $X$, có độ dài $p \geq \operatorname{codim}(Y, X)$. Suy ra $\dim(X) \geq n + p$, do đó a). Để thiết lập b), có thể giả sử $Y$ là bất khả quy. Vì ta có $\operatorname{codim}(Y, Z) \leq \operatorname{codim}(Y, T)$, bất đẳng thức được chứng minh nếu $\operatorname{codim}(Y, Z) = +\infty$. Nếu không, gọi $Z_0$ là một thành phần bất khả quy của $Z$ chứa $Y$ và sao cho $\operatorname{codim}(Y, Z) = \operatorname{codim}(Y, Z_0)$. Ta có $\operatorname{codim}(Z, T) \leq \operatorname{codim}(Z_0, T)$, và ta thấy, như trên, rằng $\operatorname{codim}(Y, Z_0) + \operatorname{codim}(Z_0, T) \leq \operatorname{codim}(Y, T)$, do đó b).

Giả sử $X$ là catenary. Theo Mệnh đề 3, b), chỉ cần chứng minh hệ thức khi $\operatorname{codim}(Y, Z)$ và $\operatorname{codim}(Z, T)$ là hữu hạn. Bằng cách nối đuôi một chuỗi bão hòa các tập con đóng bất khả quy có các đầu mút $Y$ và $Z$, độ dài $\operatorname{codim}(Y, Z)$, với một chuỗi bão hòa các tập con đóng bất khả quy có các đầu mút $Z$ và $T$, độ dài $\operatorname{codim}(Z, T)$, ta thu được một chuỗi bão hòa có các đầu mút $Y$ và $T$, độ dài $\operatorname{codim}(Y, Z) + \operatorname{codim}(Z, T)$. Nhưng vì $X$ là catenary, độ dài này tất yếu bằng $\operatorname{codim}(Y, T)$.

Ngược lại, giả sử rằng ta có $\operatorname{codim}(Y, T) = \operatorname{codim}(Y, Z) + \operatorname{codim}(Z, T)$ với mọi tập con đóng bất khả quy $Y, Z, T$ của $X$ sao cho $Y \subset Z \subset T$, và hãy chứng minh rằng $X$ là catenary. Để làm điều đó, ta chứng minh bằng quy nạp theo số nguyên $n \geq 0$ rằng, với mọi chuỗi bão hòa $Z_0 \subset ... \subset Z_n$ các tập con đóng bất khả quy của $X$, ta có $\operatorname{codim}(Z_0, Z_n) = n$. Nếu $n = 0$, điều này là hiển nhiên. Cho $n > 0$, và giả sử tính chất đúng với các chuỗi có độ dài $\leq n - 1$. Nếu $Z_0 \subset ... \subset Z_n$ là một chuỗi bão hòa độ dài $n$, thì $Z_0 \subset ... \subset Z_{n-1}$ là một chuỗi bão hòa độ dài $n - 1$, do đó $\operatorname{codim}(Z_0, Z_{n-1}) = n - 1$. Theo giả thiết đặt ra trên $X$, ta có $\operatorname{codim}(Z_0, Z_n) = \operatorname{codim}(Z_0, Z_{n-1}) + \operatorname{codim}(Z_{n-1}, Z_n) = (n - 1) + 1 = n$.

Điều kiện này là cần theo Mệnh đề 4. Ngược lại, giả sử nó được thỏa mãn, và ký hiệu bởi c(Z) số nguyên codim(Z, X) với mọi tập con đóng bất khả quy Z của X. Nếu Y, Z, T là ba tập con đóng bất khả quy của X sao cho Y ⊂ Z ⊂ T, ta có

Cho Y và Z là hai tập con đóng bất khả quy của X sao cho Y ⊂ Z. Cho $Y_0 \subset ... \subset Y_p$ là một chuỗi sao cho $Y_p = Y$ và p = \dim(Y), $Z_0 \subset ... \subset Z_q$ một chuỗi sao cho $Z_0 = Z$ và q = \operatorname{codim}(Z, X). Với mọi chuỗi bão hòa $T_0 \subset ... \subset T_r$ sao cho $T_0 = Y$ và $T_r = Z$, chuỗi

Theo nhận xét của II, § 4, No. 3, nếu a là một iđêan của A, không gian tôpô Spec(A/a) đồng phôi với không gian con đóng V(a) của Spec(A). Mệnh đề a) suy ra từ điều này và từ mệnh đề 1, a) của No. 1. Mệnh đề b) suy ra từ loc. cit., hệ quả của mệnh đề 13. Theo loc. cit., hệ quả 2 của mệnh đề 14, các thành phần bất khả quy của Spec(A) đồng phôi với các không gian Spec(A/p), trong đó p là một iđêan nguyên tố cực tiểu của A, và mệnh đề c) suy ra từ hệ quả của mệnh đề 1 của No. 1. Dưới giả thiết của d), không gian Spec(A) chỉ có một số hữu hạn các thành phần bất khả quy; các thành phần bất khả quy của Spec(A) chứa p là các tập hợp V(q), trong đó q là một iđêan nguyên tố cực tiểu được chứa trong p. Khi đó mệnh đề d) suy ra từ hệ quả, b) của mệnh đề 1 của No. 1.

Sau cùng, hãy chứng minh e). Vấn đề là chứng minh rằng, với mọi dãy $p_0 \subset ... \subset p_n$ các iđêan nguyên tố của A sao cho $a \subset p_0$, ta có dim(A) $\geq n + 1$. Do giả thiết đặt trên a, tồn tại một iđêan nguyên tố $p_{-1}$ của A được chứa trong $p_0$, phân biệt với $p_0$, và $p_{-1} \subset p_0 \subset ... \subset p_n$ là một dãy các iđêan nguyên tố của A, có độ dài $n + 1$.

b) Cho p là một iđêan nguyên tố của A và a là một iđêan của A. Khi đó ta có $\dim(A_p/aA_p) = -\infty$ nếu a không được chứa trong p, và $\dim(A_p/aA_p) = \operatorname{codim}(V(p), V(a))$ nếu a được chứa trong p. Đặc biệt, nếu p là một iđêan nguyên tố của A, ta có $\dim(A_p) = \operatorname{ht}(p)$.

c) Nếu a là một iđêan của A, ta có $\operatorname{ht}(a) = \inf_{p} \operatorname{ht}(p) = \inf_{p} \dim(A_p)$ trong đó p chạy qua tập hợp các iđêan nguyên tố của A chứa a.

Mệnh đề a) là bản dịch của Định nghĩa 3, a) của No. 2. Mệnh đề b) suy ra từ việc ánh xạ $q \mapsto q(A_p/aA_p)$ là một đẳng cấu tăng của tập hợp các iđêan nguyên tố q của A sao cho $a \subset q \subset p$ lên tập hợp các iđêan nguyên tố của vành địa phương $A_p/aA_p$ (II, § 2, No. 5, Mệnh đề 11). Cho a là một iđêan của A; các tập con đóng bất khả quy của $V(a)$ là các tập hợp $V(p)$, trong đó p là một iđêan nguyên tố của A chứa a. Do đó mệnh đề c) suy ra từ Nhận xét 1 của No. 2.

Điều này suy ra từ Mệnh đề 7, a), và từ II, § 2, No. 5, Mệnh đề 11.

a) Ta có $\dim(A) = \sup_m \dim(A_m) = \sup_m \operatorname{ht}(m)$, trong đó m chạy qua tập hợp các iđêan cực đại (resp. nguyên tố) của A.

b) Cho b là một iđêan của A phân biệt với A, và a là một iđêan của A được chứa trong b. Khi đó ta có $\operatorname{codim}(V(b), V(a)) + \dim(A/b) \leq \dim(A/a)$. Đặc biệt, với mọi iđêan b của A phân biệt với A, ta có bất đẳng thức $\operatorname{ht}(b) + \dim(A/b) \leq \dim(A)$.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Nhận xét 2 của No. 2 và từ Mệnh đề 7, b). Mệnh đề thứ hai suy ra từ Mệnh đề 3, a) của No. 2 và từ các hệ thức $\dim(A/b) = \dim(V(b))$, $\dim(A/a) = \dim(V(a))$.

a) Với mọi $p \in \mathrm{Supp}(M)$, ta có $\dim_{A_p}(M_p) = \mathrm{codim}(V(p), \mathrm{Supp}(M))$.

b) $\dim_A(M)$ là cận trên bé nhất của các $\dim_{A_p}(M_p)$, trong đó $p$ chạy trên $\mathrm{Spec}(A)$ (tương ứng, trong đó $p$ chạy trên tập hợp các iđêan cực đại của $A$ thuộc $\mathrm{Supp}(M)$).

c) Cho $M'$ là một môđun con hữu hạn sinh của $M$; khi đó

a) Cho $a$ là linh hóa tử của $M$; khi đó linh hóa tử của $A_p$-môđun $M_p$ là $aA_p$ (II, § 2, n° 4, formule (9)), do đó $\dim_{A_p}(M_p) = \dim(A_p/aA_p)$. Kết luận suy ra từ prop. 7, b) của n° 3.

b) Điều này suy ra ngay từ a) và từ sự kiện rằng $\dim_{A_p}(M_p) = -\infty$ nếu $p$ không thuộc $\mathrm{Supp}(M)$.

c) Ta có $\mathrm{Supp}(M) = \mathrm{Supp}(M') \cup \mathrm{Supp}(M/M')$ (II, § 4, n° 4, prop. 16), và ta áp dụng prop. 1 của n° 1.

Để $M$ thuộc kiểu $C_{\leq d}$, nghĩa là có chiều $\leq d$, điều kiện cần và đủ là với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu $p$ của $\mathrm{Supp}(M)$, ta có $\dim(A/p) \leq d$, điều đó có nghĩa là $z(M) \in Z_{\leq d}$. Giả sử ta có $\dim(M) \leq d$, và cho $p \in \mathrm{Spec}(A)$ sao cho $\dim(A/p) = d$; khi đó hoặc $p \notin \mathrm{Supp}(M)$ và do đó $M_p = 0$, hoặc $p \in \mathrm{Supp}(M)$, và $p$ là một phần tử cực tiểu của $\mathrm{Supp}(M)$; trong cả hai trường hợp hệ số của $[V(p)]$ trong $z(M)$ là $\mathrm{long}_{A_p}(M_p)$, do đó a). Phần b) được chứng minh tương tự; cần lưu ý rằng một môđun hữu hạn sinh $M$ thuộc kiểu $C^{>d}$ khi và chỉ khi ta có $M_p = 0$ với mọi iđêan nguyên tố $p$ có chiều cao $< d$.

Theo Mệnh đề 9, c) và Nhận xét 3 của No. 4, các tập hợp $C_{\leq d}$ và $C^{>d}$ là di truyền (A, VIII, § 10, No. 1, Định nghĩa 1), và ta có thể xét các nhóm Grothendieck tương ứng $K(C_{\leq d})$ và $K(C^{>d})$ (loc. cit., No. 2); với mọi $A$-môđun $M$ thuộc kiểu $C_{\leq d}$ (resp. $C^{>d}$), ký hiệu $[M]_{\leq d}$ (resp. $[M]^{>d}$) phần tử liên kết trong $K(C_{\leq d})$ (resp. $K(C^{>d})$). Theo Bổ đề 1, các ánh xạ $z_d$ và $z^d$ là cộng tính; do đó tồn tại (loc. cit., Mệnh đề 3) các đồng cấu

Ta có $\zeta_d \circ i_d = 0$ theo Bổ đề 1. Với mọi $p \in \mathrm{Spec}(A)$ sao cho $\dim(A/p) = d$, ta có $\zeta_d([A/p]_{\leq d}) = z_d(A/p) = [V(p)]$, do đó đồng cấu $\zeta_d$ là toàn ánh. Theo IV, § 1, No. 4, Định lý 1, $K(\mathscr{C}_{\leq d})$ được sinh bởi các $[A/p]_{\leq d}$, trong đó $p \in \mathrm{Spec}(A)$ và $\dim(A/p) \leq d$; do đó, mọi phần tử $\xi$ của $K(\mathscr{C}_{\leq d})$ đều có thể viết được dưới dạng $\xi = i_d(\eta) + \sum_{i=1}^k n_i[A/p_i]_{\leq d}$, với $\eta \in K(\mathscr{C}_{\leq d-1})$, $n_i \in \mathbf{Z}$ và $\dim(A/p_i) = d$ với $1 \leq i \leq k$; ta có $\zeta_d(\xi) = \sum_{i=1}^k n_i[V(p_i)]$ và do đó $\zeta_d(\xi) = 0$ kéo theo $\xi = i_d(\eta) \in \mathrm{Im}(i_d)$, suy ra $\mathrm{Ker}(\zeta_d) = \mathrm{Im}(i_d)$.